Понятие производной широко применяется для решения разнообразных задач, однако нет надобности каждый раз находить производную путем предельного перехода, посредством тех четырех операций, которые указаны в общем правиле дифференцирования функций.
Практически производные элементарных функций находятся по формулам дифференцирования, как это разъясняется в последующих задачах.
Таблица производных:
1) 2) 3) 4) 4a) 4б) | 5) 6) 7) 8) 9) |
где — постоянная; — независимая переменная; — функции от .
Пример 1. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Решение. 1) (по формуле 2);
(по формулам 5, За и 1).
2) Введем дробные и отрицательные показатели, преобразуем данную функцию:
Применяя формулы 2, 5 и За, получим
3) 1-й способ. Пользуясь формулой 3, получим
2-й способ. Сначала раскроем скобки, затем продифференцируем, как сумму:
Этот способ предпочтительнее, так как быстрее приводит к цели.
Следует иметь в виду, что вообще не обязательно дифференцировать заданную функцию сразу. Можно предварительно подвергнуть ее тождественным преобразованиям (если это целесообразно, т. е. ведет к упрощению дифференцирования).
4) Пользуясь формулой 4, получим
Пример 2. Найти производную данной функции и затем вычислить ее частное значение при указанном значении аргумента:
1)
2)
Решение. 1) Сначала раскроем скобки и выполним деление, затем продифференцируем:
Подставляя значение , получим
2) Применяя формулы 4б и 4а, получим
При найдем .