Область определения функции. Решение задач. Практикум по математическому анализу. Урок 5

Пример 1. Найти область определения каждой из следующих функций:
1) \displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}; 2) \displaystyle u=\frac{x-1}{x^{2}-5x+6}+\sqrt[3]{2x+1}; 3) \displaystyle v=arccos\frac{1-2x}{3}; 4) \displaystyle p=\frac{x}{\sin x}; 5) \displaystyle q=log_{2}(x^{2}-9).
Решение.
1) Поскольку аргумент x содержится под радикалом четной степени, то функция y будет иметь вещественные значения только при тех значениях x, при которых подкоренное выражение будет неотрицательно, т.е. \displaystyle 1-x^{2}\geq 0. Решая это неравенство, получим


\displaystyle x^{2}\leq 1;\; \left | x \right |\leq 1;\; -1\leq x\leq 1.
Следовательно, область определения функции y есть отрезок [-1;1].

2) Здесь аргумент x содержится в знаменателе дроби. Поэтому x не может иметь тех значений, которые обращают знаменатель в нуль, так как деление на нуль не имеет смысла. Приравняв знаменатель нулю, найдем эти значения x:
\displaystyle x^{2}-5x+6=0;\; x_{1}=2,x_{2}=3.
Второе слагаемое в выражении функции u не накладывает никаких ограничений на значения x, поскольку показатель радикала нечетный. Следовательно, областью определения функции u является вся числовая ось, кроме точек x=2 и x=3.

3) Функция v будет определена только для тех значений x, для которых \displaystyle -1\leq \frac{1-2x}{3}\leq 1. Решив эти неравенства, получим
\displaystyle -\frac{4}{3}\leq -\frac{2}{3}x\leq \frac{2}{3};\; -1\leq x\leq 2.
Отрезок [-1;2] и является областью определения функции v.

4) Найдем значения x, которые обращают знаменатель функции p в нуль: \displaystyle \sin x=0;\; x_{k}=\pi k;\; k=0,\pm 1,\pm 2,... .
При этих значениях x функция p не имеет никаких значений.
Областью определения функции p является вся числовая ось, кроме точек \displaystyle x_{k}.

5) Логарифмическая функция q определена только для положительных значений своего аргумента (логарифмируемого выражения), поэтому \displaystyle x^{2}-9>0.
Решая это неравенство, получим \displaystyle \left | x \right |>3, откуда следует, что \displaystyle -\infty <x<-3 и \displaystyle 3 <x<+\infty, т. е. область определения функции q состоит из двух бесконечных интервалов \displaystyle (-\infty ;-3) и \displaystyle (3;+\infty ).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам:

!--noindex-->