Производная функции и её геометрическое значение. Практикум по математическому анализу. Урок 24

Производной функции \displaystyle y=f(x) называется предел отношения ее приращения \displaystyle \Delta y к соответствующему приращению \displaystyle \Delta x независимой переменной, когда \displaystyle \Delta x\rightarrow 0:

\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}. \; (*)

загрузка...

Производная обозначается \displaystyle y' или \displaystyle f'(x), или \displaystyle \frac{dy}{dx}.
Нахождение производной называется дифференцированием.
Геометрически производная \displaystyle y' функции \displaystyle y=f(x) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции (рис.1):
\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=tg\: \beta ;\; y'=\underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\beta \to \alpha }{lim}\: tg\: \beta=tg\: \alpha .

Рис.1

Функция называется дифференцируемой в некоторой точке x, если в этой точке она имеет определенную производную, т. е. если предел (*) существует и имеет одно и то же значение при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0 любым способом; при этом функция будет и непрерывной в этой точке.
Непрерывность функции есть необходимое (но недостаточное) условие дифференцируемости функции. Функция, непрерывная в некоторой точке x, может быть и недифференцируемой в этой точке.
Простейшие случаи недифференцируемости непрерывной функции \displaystyle y=f(x) изображены на рис.2.

Рис.2

В точке a при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0 отношение \displaystyle \frac{dy}{dx} не имеет предела, но имеет различные односторонние пределы при \displaystyle \Delta x\rightarrow -0 и \displaystyle \Delta x\rightarrow +0, которые называются односторонними (левой и правой) производными:

\displaystyle \underset{\Delta x \to -0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(-) и \displaystyle \underset{\Delta x \to +0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=y'(+).

В соответствующей точке графика функции нет определенной касательной, но есть две различные односторонние касательные с угловыми коэффициентами:
\displaystyle k_{1}=y'(-) и \displaystyle k_{2}=y'(+) (угловая точка).
В точках b и \displaystyle b_{1} при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0 отношение \displaystyle \frac{dy}{dx} является знакопостоянной бесконечно большой величиной:
\displaystyle \underset{\Delta x \to 0}{lim}\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\infty (или \displaystyle +\infty).
В этом случае говорят, что функция имеет бесконечную производную. В соответствующих точках график функции имеет вертикальную касательную (точки перегиба с вертикальной касательной).
В точке с односторонние производные являются бесконечно большими величинами разных знаков. В соответствующей точке график функции имеет две слившиеся вертикальные касательные (точка возврата с вертикальной касательной, частный случай угловой точки).
В точках \displaystyle a,b,b_{1} и c функция \displaystyle y=f(x) непрерывна, но не дифференцируема.
Для непосредственного нахождения производной \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x) служит следующее общее правило.
I. Придаем аргументу x произвольное приращение \displaystyle \Delta x и, подставляя в данное выражение функции вместо x наращенное значение \displaystyle x+\Delta x находим наращенное значение функции:

\displaystyle y+\Delta y=f(x+\Delta x)

.
II. Вычитая из наращенного значения функции ее первоначальное значение, находим приращение функции

\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)

.
III. Делим приращение функции на приращение аргумента, т. е. составляем отношение

\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}.


IV. Ищем предел этого отношения при \displaystyle \Delta x\rightarrow 0. Этот предел и даст искомую производную \displaystyle y' от функции \displaystyle y=f(x).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: