Теоремы о бесконечно малых и о пределах. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 13

matan_13

Пример 2. При \displaystyle n \to +\infty найти пределы следующих функций:
1) \displaystyle S_{1}(n)=\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+...+\frac{n-1}{n};
2) \displaystyle S_{2}(n)=\frac{1}{n^{2}}+\frac{2}{n^{2}}+\frac{3}{n^{2}}+...+\frac{n-1}{n^{2}};
3) \displaystyle S_{3}(n)=\frac{1}{n^{3}}+\frac{2}{n^{3}}+\frac{3}{n^{3}}+...+\frac{n-1}{n^{3}}.


Решение. Каждая из данных функций представляет сумму n-1 членов арифметической прогрессии. Разность первой прогрессии \displaystyle \frac{1}{n}, второй \displaystyle \frac{1}{n^{2}} и третьей \displaystyle \frac{1}{n^{3}}.
Выполняя сложение и переходя к пределу, найдем:
1) \displaystyle S_{1}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n}+\frac{n-1}{n} \right )=\frac{1}{2}(n-1);
\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{1}=\frac{1}{2}(\textrm{lim}\: n-1)=+\infty .
2) \displaystyle S_{2}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n^{2}}+\frac{n-1}{n^{2}} \right )=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{n} \right );
\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{2}=\frac{1}{2}\left ( 1-\frac{1}{\textrm{lim}\: n} \right )=\frac{1}{2}.
3) \displaystyle S_{3}=\frac{n-1}{2}\left ( \frac{1}{n^{3}}+\frac{n-1}{n^{3}} \right )=\frac{1}{2}\left ( \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}} \right );
\displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}S_{3}=\frac{1}{2}\left [\frac{1}{\textrm{lim}\: n}-\frac{1}{(\textrm{lim}\: n)^{2}} \right ]=0.
В этой задаче, при \displaystyle n \to +\infty функции \displaystyle S_{1},S_{2} и \displaystyle S_{3} являются суммами бесконечно малых величин, число которых неограниченно возрастает вместе с n. Полученные результаты показывают, что \displaystyle S_{1} есть величина бесконечно большая, \displaystyle S_{2} — величина, стремящаяся к \displaystyle \frac{1}{2}, \displaystyle S_{3} — величина бесконечно малая.
Следовательно, решение этой задачи показывает: если число слагаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма может оказаться любой величиной.
Пример 3. Доказать, что \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{x^{n}}{n!}=0 при любом значении x.
Решение. Каково бы ни было значение x, всегда найдутся такие два последовательных целых положительных числа k и k+1, между которыми заключается \displaystyle \left | x \right |, т. е. \displaystyle k<\left | x \right |<k+1. Исходя из этого, получим очевидное неравенство:
\displaystyle \left | \frac{x^{n}}{n!} \right |=\left | \frac{x^{k}}{k!}\cdot \frac{x}{k+1}\cdot \frac{x}{k+2} \cdot \frac{x}{k+3}\cdot ...\cdot \frac{x}{n}\right |<\left | \frac{x^{k}}{k!} \right |\cdot \left | \frac{x}{k+1} \right |^{n-k}.
Первый множитель \displaystyle M_{1}=\left | \frac{x^{k}}{k!} \right | не зависит от n и при любом данном значении x является постоянным; второй множитель \displaystyle M_{2}=\left | \frac{x}{k+1} \right |^{n-k} при \displaystyle n \to +\infty будет величиной бесконечно малой, ибо \displaystyle \left | \frac{x}{k+1} \right |<1. (См. решение задачи 2 (урок 10).)
Поэтому \displaystyle M_{1}\cdot M_{2}, как произведение постоянной величины на бесконечно малую, есть величина бесконечно малая. Вследствие этого функция \displaystyle \frac{x^{n}}{n!} также будет величиной бесконечно малой, т. е. \displaystyle \underset{n \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{x^{n}}{n!}=0 при любом значении x.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

загрузка...

Наш сайт находят по фразам: