Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 14

Предел функции не зависит от того, определена она в предельной точке или нет. Но в практике вычисления пределов элементарных функций это обстоятельство имеет существенное значение.
а) Если функция является элементарной и если предельное значение аргумента принадлежит ее области определения, то вычисление предела функции сводится к простой подстановке предельного значения аргумента, ибо предел элементарной функции $f(x)$ при $x$, стремящемся к значению $a$, которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при $x=a$. т. е.
$\displaystyle \underset{x \to a}{\textrm{lim}}f(x)=f(a).$
Пример 1. Найти предел функции:
1) $\displaystyle f(x)=x^{3}-5x^{2}+2x+4$ при $\displaystyle x \to -3$;
2) $\displaystyle \varphi (t)=t\sqrt{t^{2}-20}-lg(t+\sqrt{t^{2}-20})$ при $\displaystyle t \to 6$.
Решение. Данная функция является элементарной, она определена в предельной точке, поэтому находим предел функции как ее частное значение в предельной точке:
1) $\displaystyle \underset{x \to -3}{\textrm{lim}}f(x)=f(-3)=$
$=(-3)^{3}-5\cdot (-3)^{2}+2\cdot (-3)+4=-74;$
2) $\displaystyle \underset{t \to 6}{\textrm{lim}}\: \varphi (t)=\varphi (6)=$
$=6\sqrt{6^{2}-20}-lg(6+\sqrt{6^{2}-20})=23.$
б) Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.
Путем таких рассуждений, основанных на свойствах пределов, получены следующие часто встречающиеся пределы:
(постоянная