Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 15

Рассмотрим случай, когда при $\displaystyle x \to a$ или $\displaystyle x \to \infty$ функция $f(x)$ представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай $\displaystyle \frac{0}{0}$).
Этот случай нахождения предела функции имеет особенно важное значение. Как будет выяснено впоследствии, нахождение предела отношения бесконечно малого изменения функции к бесконечно малому изменению аргумента является одним из основных средств для изучения функций.
Пример 1. Найти следующие пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4}$;
2) $\displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5}$;
З) $\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2}$;
4) $\displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}$.
Решение. Вначале убеждаемся, что предел функции нельзя найти непосредственной подстановкой, что при указанном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай $\displaystyle \frac{0}{0}$); затем делаем преобразования, чтобы сократить дробь на множитель, стремящийся к нулю.
1) Раскладываем знаменатель на множители и сокращаем дробь на $x-2$:
$\displaystyle \underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{x^{2}-4}=\underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\underset{x \to 2}{\textrm{lim}}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}.$
Здесь нет сокращения на нуль, что никогда недопустимо. Согласно определению предела функции аргумент $x$ стремится к своему предельному значению 2, никогда с ним не совпадая. Поэтому здесь $\displaystyle x-2\neq 0$.
Вообще, если надо найти предел функции при $\displaystyle x \to a$, то необходимо помнить, что $x$ не принимает значения $a$, m. е. что $\displaystyle x \neq a$ и $\displaystyle x-a \neq 0$.
2) Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле
$\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})$, где $\displaystyle x_{1}$ и $\displaystyle x_{2}$ - корни трехчлена. Затем сокращаем дробь на $x-5$:

$$\displaystyle \underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x^{2}-11x+5}{3x^{2}-14x-5}=\underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2(x-5)\left ( x-\frac{1}{2} \right )}{3(x-5)\left ( x+\frac{1}{3} \right )}=\underset{x \to 5}{\textrm{lim}}\frac{2x-1}{3x+1}=\frac{9}{16}.$$

3) Сократим дробь, разделив на $x+2$ числитель и знаменатель в отдельности:

$$\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{5}+2x^{4}+x^{2}-3x-10}{x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+5x-2}=\underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{4}+x-5}{x^{3}+3x-1}=-\frac{3}{5}.$$

Вообще, если надо найти предел дроби, числитель и знаменатель которой многочлены, обращающиеся в нуль в предельной точке $\displaystyle x=a$, то согласно теореме Безу оба многочлена разделятся без остатка на $x-a$, т. е. такую дробь всегда можно сократить на $x-a$.
4) Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь на $\displaystyle 1+\cos x$:

$$\displaystyle \underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{\sin ^{2}x}{1+\cos ^{2}x}=\underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{1-\cos ^{2}x}{(1+\cos x)(1-\cos x+\cos ^{2}x)}=\underset{x \to \pi }{\textrm{lim}}\frac{1-\cos x}{1-\cos x+\cos ^{2}x}=\frac{2}{3}.$$

Пример 2. Найти следующие пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x};$
2) $\displaystyle \underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{2-\sqrt{x}}{3-\sqrt{2x+1}};$
3) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x}{1-\sqrt{1+\textrm{tg}\: x}};$
4) $\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}.$
Решение. Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух бесконечно малых величии (случай $\displaystyle \frac{0}{0}$), преобразуем затем дробь так, чтобы сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
1) уничтожаем иррациональность в числителе путем умножения числителя и знаменателя на $\displaystyle 1+\sqrt{x+1}$, затем сокращаем дробь на $x$:
$\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x+1}}{x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(1-\sqrt{x+1})(1+\sqrt{x+1})}{x(1+\sqrt{x+1})}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{-x}{x(1+\sqrt{x+1})}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{-1}{1+\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{2}$;
2) умножаем числитель и знаменатель на произведение $\displaystyle (2+\sqrt{x})(3+\sqrt{2x+1})$ и затем сокращаем дробь на $4-x$:

$$\displaystyle \underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{2-\sqrt{x}}{3-\sqrt{2x+1}}=\underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{(4-x)(3+\sqrt{2x+1})}{(9-2x-1)(2+\sqrt{x})}=\underset{x \to 4}{\textrm{lim}}\frac{3+\sqrt{2x+1}}{2(2+\sqrt{x})}=\frac{3}{4};$$

3) умножаем числитель и знаменатель на $\displaystyle 1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x}$ и сокращаем дробь на $\displaystyle \textrm{tg}\: x$:

$$\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x}{1-\sqrt{1+\textrm{tg}\: x}}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: x(1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x})}{1-1-\textrm{tg}\: x}=-\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}(1+\sqrt{1+\textrm{tg}\: x})=-2;$$

4) умножаем числитель и знаменатель на произведение $\displaystyle (1+\sqrt{x})(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}})$ затем сокращаем дробь на $1-x$:

$$\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{(1-x)(1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}})}{(1-x)(1+\sqrt{x})}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1+\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x^{2}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{3}{2}.$$

Иначе можно решить эту задачу путем замены переменной. Полагая $\displaystyle x=t^{2}$, получим $\displaystyle t \to 1$, когда $\displaystyle x \to 1$ и

$$\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-\sqrt{x}}{1-\sqrt[3]{x}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1-t^{3}}{1-t^{2}}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{(1-t)(1+t+t^{2})}{(1-t)(1+t)}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{1+t+t^{2}}{1+t}=\frac{3}{2}.$$

Пример 3. Найти следующие пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{x};$
2) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{1-\cos x};$
3) $\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{1- x};$
4) $\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}-4}{\textrm{arctg}\: (x+2)}.$
Решение. Устанавливаем, что данная функция не определена в предельной точке, что при заданном изменении аргумента она представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай $\displaystyle \frac{0}{0}$). После этого подвергаем функцию преобразованиям с тем, чтобы использовать 1-й замечательный предел: $\displaystyle \underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin \alpha }{\alpha }=1$ ($\displaystyle \alpha$ —радианная мера угла).
1) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{3\sin 3x}{3x}=3\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3.$)
2) Применяем тригонометрическую формулу $\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}\frac{x}{2}$;

$$\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{1-\cos x}=\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}}{2\sin ^{2}\frac{x}{2}}=2\left (\underset{x \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \right )^{2}=2\cdot 1=2.$$

3) Здесь, чтобы использовать 1-й замечательный предел, сделаем замену переменной: $\displaystyle 1-x=t$. Тогда при $\displaystyle x \to 1$ будет $\displaystyle t \to 0$ и

$$\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{1- x}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\cos \left ( \frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}t \right )}{t}=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\sin \frac{\pi }{2}t}{t}=\frac{\pi }{2}\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\frac{\sin \frac{\pi }{2}t}{\frac{\pi }{2}t}=\frac{\pi }{2}\cdot 1=\frac{\pi }{2}.$$

4) Полагая $\displaystyle \textrm{arctg}\: (x+2)=v$, получим $\displaystyle x+2=\textrm{tg}\: v$, $\displaystyle v \to 0$ когда $\displaystyle x \to -2$, и

$$\displaystyle \underset{x \to -2}{\textrm{lim}}\frac{x^{2}-4}{\textrm{arctg}\: (x+2)}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(\textrm{tg}\: v-2)^{2}-4}{v}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{(\textrm{tg}\: v-4)\textrm{tg}\: v}{v}=\underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}\: v-4}{\cos v}\cdot \underset{v \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\sin v}{v}=-4\cdot 1=-4.$$