Вычисление пределов. Практикум по математическому анализу. Урок 16

Рассмотрим случай, когда, при $\displaystyle x \to a$ или $\displaystyle x \to \infty$ функция $f(x)$ представляет отношение двух бесконечно больших величин (случай $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$).
Пример 1. Найти пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x}$;
2) $\displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}$;
3) $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}}$;
4) $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{2+4+6+...+2n}{1+3+5+...+(2n+1)}$;
5) $\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}2x}{\textrm{ctg}\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )}$;
6) $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n^{3}}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}$.
Решение. Убедившись, что имеет место случай $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$, подвергаем функцию преобразованиям.
1) Разделим числитель и знаменатель дроби на $\displaystyle x^{2}$ (наивысшая здесь степень $x$), получим:
$\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3-\frac{1}{x^{2}}}{5+\frac{2}{x}}=\frac{3-0}{5+0}=\frac{3}{5}$,
так как при $\displaystyle x \to \infty$ величины $\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$ и $\displaystyle \frac{1}{x}$ являются бесконечно малыми. Эту задачу можно решить иначе, посредством замены переменной. Полагая $\displaystyle x=\frac{1}{\alpha }$ получим: $\displaystyle \alpha \to 0$, когда $\displaystyle x \to \infty$ и $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3x^{2}-1}{5x^{2}+2x}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{\frac{3}{\alpha ^{2}}-1}{\frac{5}{\alpha ^{2}}+\frac{2}{\alpha}}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{3-\alpha ^{2}}{5+2\alpha}=\frac{3}{5}.$
Вообще, предельный переход при $\displaystyle x \to \infty$ всегда может быть заменен предельным переходом при $\displaystyle \alpha \to 0$, если за новую независимую переменную принять величину, обратную первоначальной переменной, т. е. если положить $\displaystyle \alpha =\frac{1}{x}$.
2) Эту задачу можно решить теми же двумя способами, что и предыдущую.
Разделим числитель и знаменатель на $n$, получим
$\displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{1}{-\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{-1}=-1$,
или, полагая $\displaystyle n =\frac{1}{\alpha }$ найдем $\displaystyle \alpha \to -0$ при $\displaystyle n \to -\infty$, и
$\displaystyle \underset{x \to- \infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\underset{\alpha \to -0 }{\textrm{lim}}\frac{\frac{1}{\alpha }}{\sqrt{\frac{1}{\alpha ^{2}}+1}}=\underset{\alpha \to 0}{\textrm{lim}}\frac{1}{-\sqrt{\alpha ^{2}+1}}=-1$.
Здесь появляется минус вследствие внесения под знак квадратного радикала (в первом решении) или вынесения за этот знак (во втором решении) отрицательного делителя, ибо если $a<0$, то $\displaystyle a\sqrt{b}=-\sqrt{a^{2}b}$ и $\displaystyle \sqrt{a^{2}b}=-a\sqrt{b}$. Из этого решения следует, что при $\displaystyle n \to +\infty$ предел данной функции будет равен единице, а при $\displaystyle n \to \infty$ предел этой функции не существует.
3) Умножая числитель и знаменатель дроби на $\displaystyle 7^{-n}$, получим
$\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1+7^{n+2}}{3-7^{n}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{7^{-n}+7^{2}}{3\cdot 7^{-n}-1}=\frac{0+49}{0-1}=-49.$
так как $\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}7^{-n}=7^{-\infty }=0$.
4) Здесь числитель дроби есть сумма $n$ членов арифметической прогрессии, а знаменатель есть сумма $n+1$ членов другой арифметической прогрессии. Преобразуя их по известной формуле,
получим
$\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{2+4+6+...+2n}{1+3+5+...+(2n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{\frac{2+2n}{2}n}{\frac{1+2n+1}{2}(n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n}{n+1}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$.
5) Тождественно преобразуем дробь так, чтобы затем сократить ее на множитель, стремящийся к нулю:
$\displaystyle \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\textrm{tg}2x}{\textrm{ctg}\left ( \frac{\pi }{4}-x \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin 2x\: \sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\cos 2x\: \cos \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin 2x}{ \cos \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}\cdot \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\cos 2x}=$
$=\frac{1}{1}\cdot \underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{\sin \left ( x-\frac{\pi }{4} \right )}{\sin \left ( \frac{\pi }{2}-2x \right )}=\underset{x \to \frac{\pi }{4} }{\textrm{lim}}\frac{-\sin \left (\frac{\pi }{4}-x \right )}{2\sin \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )\cos \left ( \frac{\pi }{4}-x \right )}=-\frac{1}{2}.$
6) Преобразуем знаменатель с помощью формулы для суммы квадратов натурального ряда чисел:
$\displaystyle 1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
получим
$\displaystyle \underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{n^{3}}{1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{6n^{3}}{n(n+1)(2n+1)}=\underset{x \to +\infty }{\textrm{lim}}\frac{6}{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )\left ( 2+\frac{1}{n} \right )}=3.$