Теоремы о бесконечно малых и о пределах. Практикум по математическому анализу. Урок 12

Теоремы о бесконечно малых и о пределах

I. Сумма конечного числа бесконечно малых есть также бесконечно малая.
II. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину есть также бесконечно малая.
III. Предел постоянной равен самой постоянной.
IV. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме их пределов:
$\displaystyle \textrm{lim}(u+v-w)=\textrm{lim}u+\textrm{lim}v-\textrm{lim}w.$
V. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению их пределов:
$\displaystyle \textrm{lim}(uvw)=\textrm{lim}u\cdot \textrm{lim}v\cdot \textrm{lim}w.$
VI. Предел частного равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя отличен от нуля:
$\displaystyle \textrm{lim}\frac{u}{v}=\frac{\textrm{lim}u}{\textrm{lim}v},\; \textrm{lim}v\neq 0.$
Пример 1. Найти пределы следующих функций:
1) $\displaystyle f(x)=2x-3-\frac{1}{x}$ при $\displaystyle x \to 1$;
2) $\displaystyle y=\frac{x^{3}-3x^{2}+2x-5}{x^{2}+2}$ при $\displaystyle x \to -1$;
3) $\displaystyle y=x\sin \frac{1}{x}$ при $\displaystyle x \to 0$.
Решение. Пользуясь указанными теоремами, последовательно находим:
1) $\displaystyle \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}\left ( 2x-3-\frac{1}{x} \right )=\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}2\cdot \underset{x \to 1}{\textrm{lim}}x-\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}3-\frac{\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}1}{\underset{x \to 1}{\textrm{lim}}x}=2\cdot 1-3-\frac{1}{1}=-2;$
2) $\displaystyle \underset{x \to -1}{\textrm{lim}}\frac{x^{3}-3x^{2}+2x-5}{x^{2}+2}=\frac{(\underset{x \to -1}{\textrm{lim}}x)^{3}-3(\underset{x \to -1}{\textrm{lim}}x)^{2}+2\underset{x \to -1}{\textrm{lim}}x-5}{(\underset{x \to -1}{\textrm{lim}}x)^{2}+2}=$
$\displaystyle =\frac{(-1)^{3}-3(-1)^{2}+2(-1)-5}{(-1)^{2}+2}=\frac{-1-3-2-5}{3}=-\frac{11}{3};$
3) при $\displaystyle x \to 0$ аргумент $\displaystyle \frac{1}{x}\to \infty$, а множитель $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ будет при этом колебаться между —1 и +1, не стремясь ни к какому определенному числу, т. е. этот множитель не имеет предела, но является величиной ограниченной, $\displaystyle \left | \sin \frac{1}{x} \right |\leq 1$. Поэтому согласно теореме II данная функция, представляющая произведение бесконечно малой $x$ на величину, ограниченную $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ есть бесконечно малая величина, а ее предел равен нулю: $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}x\sin \frac{1}{x}=0$.