Предел переменной. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Предел функции. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 11

Пример 3. Доказать, что:
1) $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{2x+3}{3x}=\frac{2}{3}$.
2) $\displaystyle \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}(2x+1)=7$.
Решение.
1) Составим разность $\displaystyle \frac{2x+3}{3x}-\frac{2}{3}=\frac{1}{x}$. При $\displaystyle x \to \infty$ эта разность является бесконечно малой, как величина, обратная бесконечно большой. А если переменная $\displaystyle \frac{2x+3}{3x}$ отличается от постоянной $\displaystyle \frac{2}{3}$ на величину бесконечно малую, то постоянная является пределом переменной. Следовательно, $\displaystyle \underset{x \to \infty }{\textrm{lim}}\frac{2x+3}{3x}=\frac{2}{3}$.
2) Положим $\displaystyle x=3+\alpha$ и составим разность: $\displaystyle (2x+1)-7=[2(3+\alpha)+1]-7=2\alpha$. При $\displaystyle x \to 3$ переменная $\displaystyle \alpha \to 0$ и разность между функцией $2x+1$ и числом 7, т. е. $\displaystyle 2\alpha$, будет бесконечно малой. Из этого следует, что $\displaystyle \underset{x \to 3}{\textrm{lim}}(2x+1)=7$.
Пример 4. Найти пределы функции $\displaystyle y=\frac{5}{2-x}$:
1) при $\displaystyle x \to 2-0$;
2) при $\displaystyle x \to 2+0$.
Пояснить решение таблицами.
Решение. 1) Если $x$ будет стремиться к 2 слева, оставаясь меньше 2, то $2-x$ будет положительная бесконечно малая, a $\displaystyle \frac{5}{2-x}$ будет положительная бесконечно большая, т. е. если $\displaystyle x \to 2-0$, то $\displaystyle (2-x) \to +0$, а $\displaystyle \frac{5}{2-x} \to +\infty$, или $\displaystyle \underset{x \to 2-0}{\textrm{lim}}\frac{5}{2-x}=+\infty$.
Указанное поведение переменных $x, 2-x$ и $\displaystyle \frac{5}{2-x}$ поясняется следующей таблицей:

2) Если $\displaystyle x \to 2+0$, то $\displaystyle (2-x) \to -0$, a $\displaystyle \frac{5}{2-x} \to -\infty$ или $\displaystyle \underset{x \to 2+0}{\textrm{lim}}\frac{5}{2-x}=-\infty$.
Таблица соответствующих значений переменных $x, 2-x$ и $\displaystyle \frac{5}{2-x}$ наглядно показывает их поведение:

График функции $\displaystyle y=\frac{5}{2-x}$ изображен на рис. 1.

Рис.1                                                                         Рис.2

Пример 5. Найти пределы функции $\displaystyle y=2^{\frac{1}{x}}$ при $x$, стремящемся к нулю: 1) слева, 2) справа и 3) произвольным способом.
Решение. 1) Если переменная $x$ будет стремиться к нулю слева, оставаясь отрицательной, т. е. если $x$ будет отрицательной бесконечно малой, то $\displaystyle \frac{1}{x}$ будет отрицательной бесконечно большой и $\displaystyle \underset{x \to -0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=\underset{x \to -0}{\textrm{lim}}\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{1}{x}}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{+\infty }=0$, что следует из решения задачи 2 (урок 10).
2) Если $\displaystyle x \to +0$, то $\displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty$ и $\displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=2^{+\infty }=+\infty$.
3) Если $x$ будет стремиться к нулю произвольным способом, не оставаясь с одной стороны от него (например, как $z$ в задаче 1(урок 10) ), то $\displaystyle \frac{1}{x}$ будет стремиться к бесконечности, принимая значения разных знаков. Вследствие этого при $\displaystyle x \to 0$ функция $\displaystyle 2^{\frac{1}{x}}$ не имеет предела, не будучи при этом и бесконечно большой величиной $\displaystyle \underset{x \to 0}{\textrm{lim}}2^{\frac{1}{x}}=2^{\infty }$ не существует.
График функции $\displaystyle y=2^{\frac{1}{x}}$ показан на рис. 2.
Пример 6. Найти пределы функции $\displaystyle y=\textrm{arctg}\frac{1}{x}$: 1) при $\displaystyle x \to -0$; 2) при $\displaystyle x \to +0$ и 3) при $\displaystyle x \to 0$.
Решение.
1) Если $\displaystyle x \to -0$, то $\displaystyle \frac{1}{x}\to -\infty$, a $\displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x} \to -\frac{\pi }{2}$, т. е. $\displaystyle \underset{x \to -0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg}(-\infty )=-\frac{\pi }{2}$.
2) Если $\displaystyle x \to +0$, то $\displaystyle \frac{1}{x} \to +\infty$, a $\displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x} \to \frac{\pi }{2}$, т. е. $\displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg}(+\infty )=\frac{\pi }{2}$.
3) Если $\displaystyle x \to 0$, то $\displaystyle \frac{1}{x} \to \infty$, a $\displaystyle \textrm{arctg}\frac{1}{x}$ не стремится ни к какому значению, т. е. $\displaystyle \underset{x \to +0}{\textrm{lim}}\textrm{arctg}\frac{1}{x} = \textrm{arctg} \infty$ не существует,
График этой функции показан на рис. 3.

Рис. 3