Формулы двойного и тройного аргументов. Видеоурок №21

Формулы двойного и тройного аргументов. Решения упражнений. Учимся решать задачи по тригонометрии. Видеоурок №21

Формулы двойного и тройного углов

$$\displaystyle \begin{matrix} \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ;\\ \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha-1=1-2 \sin ^{2}\alpha;\\ \textrm{tg}2\alpha =\frac{2\textrm{tg}\alpha}{1-\textrm{tg}^{2}\alpha};\\ \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ;\\ \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ;\\ \textrm{tg}3\alpha =\frac{3\textrm{tg}\alpha -\textrm{tg}^{3}\alpha }{1-3\textrm{tg}^{2}\alpha }. \end{matrix}$$

Полный урок смотрите в следующем видео:

Домашнее задание:
1. Доказать тождество:
1) $\displaystyle \frac{\cos ^{3}\alpha -\cos 3\alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin ^{3}\alpha +\sin 3\alpha }{\sin \alpha }=3;$

2) $\displaystyle \frac{\sin 3\alpha +4\sin ^{3}\alpha }{\cos 3\alpha -4\cos ^{3}\alpha }=\frac{\cos 3\alpha -\cos ^{3}\alpha }{\sin 3\alpha +\sin ^{3}\alpha };$

3) $\displaystyle \sin ^{3}2\alpha \cos 6\alpha +\cos ^{3}2\alpha \sin 6\alpha =\frac{3}{4}\sin 8\alpha ;$

4) $\displaystyle \frac{\sin ^{3}\alpha +\sin 3\alpha }{\cos ^{3}\alpha -\cos 3\alpha }=\textrm{ctg}\alpha ;$

5) $\displaystyle \frac{\textrm{tg}^{2}\alpha -\textrm{tg}^{2}60^{\circ}}{\textrm{tg}^{2}\alpha -\textrm{ctg}^{2}60^{\circ}}=3\textrm{tg}3\alpha\, \textrm{ctg}\alpha;$

6) $\displaystyle \sin 18^{\circ}\cos 36^{\circ}=\frac{1}{4}.$
2. Доказать тождество:
1) $\displaystyle 4\sin \alpha \sin (60^{\circ}-\alpha )\sin (60^{\circ}+\alpha )=\sin 3\alpha ;$

2) $\displaystyle \textrm{tg}\alpha \textrm{tg}(60^{\circ}-\alpha )\textrm{tg}(60^{\circ}+\alpha )=\textrm{tg}3\alpha ;$

3) $\displaystyle 16\sin 20^{\circ}\sin 40^{\circ}\sin 60^{\circ}\sin 80^{\circ}=3;$

4) $\displaystyle \textrm{tg}20^{\circ}\textrm{tg}40^{\circ}\textrm{tg}80^{\circ}=\sqrt{3}.$