Комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

Задача 1. Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если из второго члена этой прогрессии вычесть число 2, а остальные числа оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение. Пусть $a_{1},a_{2},a_{3}$ — члены арифметической прогрессии; $b_{1},b_{2},b_{3}$ — члены геометрической прогрессии. По условию $a_{1}+a_{2}+a_{3}=30$. Найдем связь между $a_{1}$ и $d$ — разностью прогрессии.

$$a_{2}=a_{1}+d,\; a_{3}=a_{1}+2d \Rightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=30\Leftrightarrow 3a_{1}+3d=30\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow a_{1}+d=10\Leftrightarrow a_{1}=10-d.$$

Выразим все члены прогрессии через $d$: $a_{2}=a_{1}+d=10,\; a_{3}=a_{1}+2d=10-d+2d=10+d$. Таким образом, $a_{1}=10-d,\; a_{2}=10,\; a_{3}=10+d.$
По условию $b_{1}=a_{1},\; b_{2}=a_{2}-2,\; b_{3}=a_{3}.$ Тогда $10-d;\; 8;\; 10+d$ — геометрическая прогрессия.
Поскольку

$$b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}\Leftrightarrow 8^{2}=(10-d)(10-d)\Leftrightarrow 64=100-d^{2} \Leftrightarrow d^{2}=36 \Leftrightarrow d_{1,2}=\pm 6.$$

Тогда $a_{1}=10-d_{1}=4$ или $a_{1}=10-d_{2}=16$.
Отсюда получаем две тройки чисел: 4;10;1б ($d$=6) и 16;10;4($d$=-6).
Ответ: 4;10;16 или 16;10;4.

Задача 2. Четыре числа составляют геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 11, из второго 1, Из третьего 3, а из четвертого 9, то получится арифметическая прогрессия. Найти эти числа.
Решение. Обозначим искомые числа через $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ — четыре первых члена геометрической прогрессии. Пусть $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$ — соответствующие члены арифметической прогрессии. Ясно, что $b_{2}=b_{1}q,\; b_{3}=b_{1}q^{2},\; b_{4}=b_{1}q^{3}.$
Тогда

$$a_{1}=b_{1}-11,\; a_{2}=b_{2}-1=b_{1}q-1,\; a_{3}=b_{3}-3=b_{1}q^{2}-3,\; a_{4}=b_{4}-9=b_{1}q^{3}-9.$$

Применим характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2},\; a_{3}=\frac{a_{2}+a_{4}}{2}.$$

Тогда получаем систему уравнений, в которой неизвестными будут $b_{1}$ и $q$:

$$\left\{\begin{matrix} b_{1}q-1=\frac{b_{1}-11+b_{1}q^{2}-3}{2},\\ b_{1}q^{2}-3=\frac{b_{1}q-1+b_{1}q^{3}-9}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b_{1}q-2=b_{1}+b_{1}q^{2}-14,\\ 2b_{1}q^{2}-6=b_{1}q+b_{1}q^{3}-10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b_{1}\left ( q^{2}-2q+1 \right )=12,\\ b_{1}q\left ( q^{2}-2q+1 \right )=4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=27. \end{matrix}\right.$$

Запишем геометрическую прогрессию:

$$b_{2}=b_{1}q=27\cdot \frac{1}{3}=9;\; b_{3}=b_{1}q^{2}=27\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{2}=3;\; b_{4}=b_{1}q^{3}=27\cdot \left ( \frac{1}{3} \right )^{3}=1.$$

Ответ: 27;9;3;1.