Решения упражнений №4.041, 4.061, 4.053, 4.054, 4.059, 4.064 из сборника задач по математике Сканави (видео)

Решения с подробным объяснением упражнений №№4.041, 4.061, 4.053, 4.054, 4.059, 4.064 из сборника конкурсных задач по математике для поступающих во втузы под ред. М.И. Сканави.
Сборник содержит большое число задач в диапазоне трех степеней трудности, разнообразных и сходных по содержанию.
Часть 1. Задачи для письменных экзаменов.
Глава 4. Прогрессии.
Решить задачи:

№4.041
Найти целое положительное число /(n/) из уравнения

$$(3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right )=137.$$

№4.061
Решить уравнение

$$\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+...+\frac{1}{x}=3,$$

где $x$ — целое положительное число.

№4.053
Пусть $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ — последовательные члены геометрической прогрессии, $S_{n}$ — сумма ее $n$ первых членов. Доказать, что

$$S_{n}=a_{1}a_{n}\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}} \right ).$$

№4.054
Доказать, что. если числа $a,b$ и $c$ составляют арифметическую прогрессию, то и числа $a^{2}+ab+b^{2},\: a^{2}+ac+c^{2}$ и $b^{2}+bc+c^{2}$ в указанном порядке также составляют арифметическую прогрессию.

№4.059
Числа $a,b,c$, одно из которых кратно 7, составляют арифметическую прогрессию с разностью 7. Показать, что число $abc$ делится на 294.

№4.064
Три числа, из которых третье равно 12, образуют геометрическую прогрессию. Если вместо 12 взять 9, то три числа будут составлять арифметическую прогрессию. Найти эти числа.