Интегрирование некоторых иррациональных функций (практика). Практикум по математическому анализу. Урок 79

Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{1+\sqrt[4]{x}}{x+\sqrt{x}}dx;$
2) $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{x}}dx;$
3) $\displaystyle \int \frac{\sqrt{(4-x^{2})^{3}}}{x^{6}}dx;$
4) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[3]{(1+x^{3})^{5}}};$
5) $\displaystyle \int \frac{2x^{2}-x-5}{\sqrt{x^{2}-2x}}dx;$
6) $\displaystyle \int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{1-x^{2}}}.$
Решение.
1) Положив $x=t^{4}$, согласно правилу I, получим $dx=4t^{3}dt$:

$$\displaystyle I=\int \frac{1+\sqrt[4]{x}}{x+\sqrt{x}}dx=\int \frac{1+t}{t^{4}+t^{2}}4t^{3}dt=4\int \frac{t^{2}+t}{t^{2}+1}dt=4\int \left ( 1+\frac{t-1}{t^{2}+1} \right )dt=$$

$$\displaystyle =4\left ( \int dt+\int \frac{tdt}{t^{2}+1}-\int \frac{dt}{t^{2}+1} \right )=4t+2\ln (t^{2}+1)-4 \textrm{arctg}\, t+C.$$

Возвращаясь к переменной $x$, имеем

$$\displaystyle I=4\sqrt[4]{x}+2\ln (1+\sqrt{x})-4 \textrm{arctg}\, \sqrt[4]{x}+C.$$

2) Применяя правило I, берем подстановку $\displaystyle \frac{1+x}{x}=t^{2}$, откуда найдем $\displaystyle x=\frac{1}{t^{2}-1},\, dx=-\frac{2tdt}{(t^{2}-1)^{2}},$

$$\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}} \sqrt{\frac{1+x}{x}}dx=\int (t^{2}-1)^{2}t\cdot \frac{-2tdt}{(t^{2}-1)^{2}}=-2\int t^{2}dt=-\frac{2}{3}t^{3}+C=C-\frac{2}{3}\sqrt{\left ( \frac{1+x}{x} \right )^{3}}.$$

3) Применяя подстановку $x=2\sin t$, получим $dx=2\cos tdt$ и

$$\displaystyle \int \frac{\sqrt{(4-x^{2})^{3}}}{x^{6}}dx=\int \frac{\sqrt{(4-4\sin ^{2}t)^{3}}}{64\sin ^{6}t}2\cos tdt=\frac{1}{4}\int \frac{\cos ^{4}t}{\sin ^{6}t}dt=\frac{1}{4}\int \frac{\textrm{ctg}^{4}t}{\sin ^{2}t}dt=$$

$$\displaystyle =-\frac{1}{4}\int \textrm{ctg}^{4}td\textrm{ctg}\, t=-\frac{1}{20}\textrm{ctg}^{5}t+C=C-\frac{\sqrt{(4-x^{2})^{5}}}{20x^{5}}.$$

4) Это интеграл от дифференциального бинома:

$$\displaystyle I=\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt[3]{(1+x^{3})^{5}}}=\int x^{-2}(1+x^{3})^{-\frac{5}{3}}dx,$$

где $\displaystyle m=-2,n=3,p=-\frac{5}{3}$.
Здесь $\displaystyle \frac{m+1}{n}+p=-2$ — целое число. Поэтому согласно правилу III полагаем $\displaystyle 1+x^{3}=x^{3}z^{3}$. Тогда

$$\displaystyle I=-\int (z^{3}-1)^{\frac{2}{3}}\left ( \frac{z^{3}}{z^{3}-1} \right )^{-\frac{5}{3}}z^{2}(z^{3}-1)^{-\frac{4}{3}}dz=\int \frac{1-z^{3}}{z^{3}}dz=$$

$$\displaystyle =\int z^{-3}dz-\int dz=\frac{z^{-2}}{-2}-z+C=C-\frac{1+2z^{3}}{2z^{2}}=C-\frac{2+3x^{3}}{2x\sqrt[3]{(1+x^{3})^{2}}}.$$

5) Согласно правилу IV применяем следующую схему интегрирования:

$$\displaystyle I=\int \frac{2x^{2}-x-5}{\sqrt{x^{2}-2x}}dx=(Ax+B)\sqrt{x^{2}-2x}+D\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x}}.$$

Для определения постоянных $A,B,D$ дифференцируем обе части равенства, затем умножаем его на $\displaystyle \sqrt{x^{2}-2x}$:

$$\displaystyle \frac{2x^{2}-x-5}{\sqrt{x^{2}-2x}}=A\sqrt{x^{2}-2x}+(Ax+B)\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x}}+ \frac{D}{\sqrt{x^{2}-2x}};$$

$$\displaystyle 2x^{2}-x-5=A(x^{2}-2x)+(Ax+B)(x-1)+D=2Ax^{2}+(B-3A)x+(D-B).$$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях последнего равенства, получим систему уравнений:

$$\displaystyle 2A=2;\, B-3A=-1;\, D-B=-5.$$

Решим эту систему: $A=1;\, B=2;\, D=-3$ и подставим значения $A,B,D$ в схему интегрирования:
$\displaystyle I=(x+2)\sqrt{x^{2}-2x}-3\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x}}.$
Последний интеграл преобразуем к формуле 11:

$$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x}}=\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{(x-1)^{2}-1}}=\ln \left | x-1+\sqrt{(x-1)^{2}-1} \right |.$$

Подставляя в предыдущее равенство, окончательно получим

$$\displaystyle I=(x+2)\sqrt{x^{2}-2x}-3\ln \left | x-1+\sqrt{x^{2}-2x} \right |+C.$$

6) Согласно правилу V применяем подстановку $\displaystyle x-1=\frac{1}{t}$, тогда $\displaystyle dx=-\frac{1}{t^{2}}dt$,

$$\displaystyle I=\int \frac{dx}{(x-1)\sqrt{1-x^{2}}}=\int \frac{-\frac{dt}{t^{2}}}{\frac{1}{t}\sqrt{-\frac{1+2t}{t^{2}}}}=-\int \frac{\left | t \right |dt}{t\sqrt{-1-2t}}=\int \frac{dt}{\sqrt{-1-2t}}.$$

Здесь учтено, что $\displaystyle \sqrt{t^{2}}=\left | t \right |$, что подынтегральная функция определена в интервале $-1<x<1$, вследствие чего $x-1<0$ и $t<0$ и что поэтому $\left | t \right |=-t$. Далее преобразуем интеграл к формуле 1:

$$\displaystyle I=\int (-1-2t)^{-\frac{1}{2}}dt=-\frac{1}{2}\int (-1-2t)^{-\frac{1}{2}}d(-1-2t)=-(-1-2t)^{\frac{1}{2}}+C=$$

$$\displaystyle =C-\sqrt{-1-\frac{2}{x-1}}=C-\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}.$$