Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции:
I. Интеграл , где — рациональная функция,
— рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается в элементарных функциях с помощью подстановки , где — общий знаменатель всех дробных показателей у .
Интегралы более общего вида или находятся (приводятся к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок: или .
II. К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
— подстановкой ;
— подстановкой ;
— подстановкой .
III. Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:
1) когда — целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона,
2) когда - целое число, — подстановкой ,
3) когда — целое число, — подстановкой , где — знаменатель дроби .
IV. Интеграл , где — многочлен -й степени, , можно найти по формуле
где — постоянные, определяемые путем дифференцирования этого равенства, умножения его на и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях . Подобным путем можно найти и интеграл
V. Интеграл можно найти подстановкой .