Интегрирование некоторых иррациональных функций (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 78

Интегрирование некоторых иррациональных функций (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 78

Иррациональные (и трансцендентные) функции интегрируются в элементарных функциях только в некоторых определенных случаях. Наиболее употребительны следующие виды интегралов от иррациональных функций, которые выражаются через элементарные функции:
I. Интеграл \displaystyle \int R(x,x^{\alpha },x^{\beta },...)dx, где R — рациональная функция,
\displaystyle \alpha =\frac{m_{1}}{n_{1}},\beta =\frac{m_{2}}{n_{2}},... — рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции, и, следовательно, выражается в элементарных функциях с помощью подстановки \displaystyle x=t^{k}, где k — общий знаменатель всех дробных показателей у x.
Интегралы более общего вида \displaystyle \int R\left [ x,(ax+b)^{\alpha },(ax+b)^{\beta },... \right ]dx или \displaystyle \int R\left [ x,\left ( \frac{ax+b}{cx+d} \right )^{\alpha },\left ( \frac{ax+b}{cx+d} \right )^{\beta },... \right ]dx находятся (приводятся к рациональному виду) с помощью аналогичных подстановок: \displaystyle ax+b=t^{k} или \displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}=t^{k}.
II. К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
\displaystyle \int R(x,\sqrt{a^{2}-x^{2}})dx — подстановкой x=a\sin t;
\displaystyle \int R(x,\sqrt{a^{2}+x^{2}})dx — подстановкой x=a\, \textrm{tg}\, t;
\displaystyle \int R(x,\sqrt{x^{2}-a^{2}})dx — подстановкой \displaystyle x=\frac{a}{\cos t}.
III. Интеграл от дифференциального бинома \displaystyle \int x^{m}(a+bx^{n})^{p}dx сводится к интегралу от рациональной функции в трех случаях:
1) когда p — целое число, — разложением на слагаемые по формуле бинома Ньютона,
2) когда \displaystyle \frac{m+1}{n} - целое число, — подстановкой \displaystyle a+bx^{n}=z^{r},
3) когда \displaystyle \frac{m+1}{n}+p — целое число, — подстановкой \displaystyle a+bx^{n}=x^{n}z^{r}, где r — знаменатель дроби p.
IV. Интеграл \displaystyle \int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx, где P_{n}(x) — многочлен n-й степени, v=ax^{2}+bx+c, можно найти по формуле

\displaystyle \int \frac{P_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx=(A_{1}x^{n-1}+A_{2}x^{n-2}+...+A_{n})\sqrt{v}+B\int \frac{dx}{\sqrt{v}},


где \displaystyle A_{1},A_{2},...,B — постоянные, определяемые путем дифференцирования этого равенства, умножения его на \displaystyle \sqrt{v} и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях x. Подобным путем можно найти и интеграл

\displaystyle \int P_{n}(x)\sqrt{v}dx=\int \frac{vP_{n}(x)}{\sqrt{v}}dx=(A_{1}x^{n+1}+A_{2}x^{n}+...+A_{n+2})\sqrt{v}+B\int \frac{dx}{\sqrt{v}}.


V. Интеграл \displaystyle \int \frac{(Ax+B)dx}{(x-\alpha)\sqrt{ax^{2}+bx+c}} можно найти подстановкой \displaystyle x-\alpha =\frac{1}{t}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

четырнадцать − семь =