Интегрирование рациональных функций (практика). Практикум по математическому анализу. Урок 77

Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{3x^{2}+8}{x^{3}+4x^{2}+4x}dx$;
2) $\displaystyle \int \frac{2x^{5}+6x^{3}+1}{x^{4}+3x^{2}}dx$;
3) $\displaystyle \int \frac{x^{3}+4x^{2}-2x+1}{x^{4}+x}dx$;
4) $\displaystyle \int \frac{(x^{3}-3)dx}{x^{4}+10x^{2}+25}$.
Решение. 1) Разложим подынтегральную правильную рациональную дробь на элементарные слагаемые дроби. Согласно указанному правилу:
а) разложим знаменатель на простейшие действительные множители: $\displaystyle x^{3}+4x^{2}+4x=x(x^{2}+4x+4)=x(x+2)^{2}$;
б) напишем схему разложения подынтегральной дроби на элементарные слагаемые дроби

$$\displaystyle \frac{3x^{2}+8}{x(x+2)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^{2}};$$

в) освободимся от знаменателей, умножая обе части равенства на $\displaystyle x(x+2)^{2}$:

$$\displaystyle 3x^{2}+8=A(x+2)^{2}+Bx(x+2)+Cx=(A+B)x^{2}+(4A+2B+C)x+4A;$$

г) составим систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обеих частях полученного тождества

$$\displaystyle A+B=3,\: 4A+2B+C=0,\: 4A=8;$$

д) решим эту систему: $\displaystyle A=2,\: B=1,\: C=-10$ и подставим найденные значения постоянных $A,\: B,\: C$ в схему разложения

$$\displaystyle \frac{3x^{2}+8}{x(x+2)^{2}}=\frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{10}{(x+2)^{2}}.$$

Подставляя под знак интеграла полученную сумму элементарных дробей и интегрируя каждое слагаемое отдельно, найдем

$$\displaystyle \int \frac{(3x^{2}+8)dx}{x^{3}+4x^{2}+4x}=\int \left [ \frac{2}{x}+\frac{1}{x+2}-\frac{10}{(x+2)^{2}} \right ]dx=$$

$$\displaystyle =2\int \frac{dx}{x}+\int \frac{dx}{x+2}-10\int (x+2)^{-2}d(x+2)=2\ln \left | x \right |+\ln \left | x+2 \right |+\frac{10}{x+2}+C.$$

2) Выделим из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:

$$\displaystyle \frac{2x^{5}+6x^{3}+1}{x^{4}+3x^{2}}=2x+\frac{1}{x^{4}+3x^{2}}.$$

Разложим полученную в результате правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:

а) $\displaystyle x^{4}+3x^{2}=x^{2}(x^{2}+3);$

б) $\displaystyle \frac{1}{x^{2}(x^{2}+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+3};$

в) $\displaystyle 1=Ax(x^{2}+3)+B(x^{2}+3)+(Cx+D)x^{2}=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+3Ax+3B;$

г) $\displaystyle A+C=0;\: B+D=0;\: 3A=0;\: 3B=1;$

д) $\displaystyle A=0;\: B=\frac{1}{3};\: C=0;\: D=-\frac{1}{3};$

$$\displaystyle \frac{1}{x^{2}(x^{2}+3)}=\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{3(x^{2}+3)}.$$

Подставляя под интеграл и интегрируя, получим

$$\displaystyle \int \frac{2x^{5}+6x^{3}+1}{x^{4}+3x^{2}}dx=\int \left ( 2x+\frac{1}{x^{4}+3x^{2}} \right )dx=\int \left [ 2x+\frac{1}{3x^{2}}-\frac{1}{3(x^{2}+3)} \right ]dx=$$

$$\displaystyle =2\int xdx+\frac{1}{3}\int x^{-2}dx-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x^{2}+3}=x^{2}-\frac{1}{3x}-\frac{1}{3\sqrt{3}} \textrm{arctg}\, \frac{x}{\sqrt{3}}+C.$$

3) Разложим подынтегральную правильную дробь на элементарные слагаемые дроби:

а) $\displaystyle x^{4}+x=x(x^{3}+1)=x(x+1)(x^{2}-x+1);$

б) $\displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}-2x+1}{x(x+1)(x^{2}-x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}-x+1};$

в) $\displaystyle x^{3}+4x^{2}-2x+1=A(x^{3}+1)+Bx(x^{2}-x+1)+(Cx+D)(x^{2}+x)=(A+B+C)x^{3}+(C+D-B)x^{2}+(B+D)x+A;$

г) $\displaystyle A+B+C=1;\: C+D-B=4;\: B+D=-2;\: A=1;$

д) $\displaystyle A=1;\: B=-2;\: C=2;\: D=0;$

$$\displaystyle \frac{x^{3}+4x^{2}-2x+1}{x^{4}+x}=\frac{1}{x}-\frac{2}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}-x+1}.$$

Подставляя под интеграл и интегрируя, получим

$$\displaystyle I=\int \frac{x^{3}+4x^{2}-2x+1}{x^{4}+x}dx=\int \frac{dx}{x}-2\int \frac{dx}{x+1}+2\int \frac{xdx}{x^{2}-x+1}=\ln \left | x \right |-2\ln \left | x+1 \right |+2I_{1}.$$

Последний интеграл $\displaystyle I_{1}$ находим отдельно, по правилу, указанному в уроке №73. Выделяем полный квадрат в знаменателе $\displaystyle x^{2}-x+1=\left ( x-\frac{1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}$ и полагаем $\displaystyle x-\frac{1}{2}=t$. Тогда $dx=dt$,

$$\displaystyle I_{1}=\int \frac{\left ( t+\frac{1}{2} \right )dt}{t^{2}+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\int \frac{2tdt}{t^{2}+\frac{3}{4}}+\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}+\frac{3}{4}}=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln \left ( t^{2}+\frac{3}{4} \right )+\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{2t}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\ln (x^{2}-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\: \frac{2x-1}{\sqrt{3}}.$$

Подставляя в предыдущее равенство, найдем

$$\displaystyle I=\ln \frac{\left | x \right |(x^{2}-x+1)}{(x+1)^{2}}+\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C.$$

4) Разложим подынтегральную дробь на элементарные слагаемые дроби:
а) $\displaystyle x^{4}+10x^{2}+25=(x^{2}+5)^{2};$
б) $\displaystyle \frac{x^{3}-3}{(x^{2}+5)^{2}}=\frac{Ax+B}{x^{2}+5}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+5)^{2}};$
в) $\displaystyle x^{3}-3=(Ax+B)(x^{2}+5)+Cx+D=Ax^{3}+Bx^{2}+(5A+C)x+(5B+D);$
г) $A=1;\: B=0;\: 5A+C=0;\: 5B+D=-3;$
д) $A=1;\: B=0;\: C=-5;\: D=-3;$

$$\displaystyle \frac{x^{3}-3}{(x^{2}+5)^{2}}=\frac{x}{x^{2}+5}-\frac{5x+3}{(x^{2}+5)^{2}}.$$

Интегрируя, имеем

$$\displaystyle I=\int \frac{x^{3}-3}{(x^{2}+5)^{2}}dx=\int \frac{xdx}{x^{2}+5}-5\int \frac{xdx}{(x^{2}+5)^{2}}-3\int \frac{dx}{(x^{2}+5)^{2}}.$$

Первый интеграл преобразуем к формуле 2:

$$\displaystyle \int \frac{xdx}{x^{2}+5}=\frac{1}{2}\int \frac{2xdx}{x^{2}+5}=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^{2}+5)}{x^{2}+5}=\frac{1}{2}\ln (x^{2}+5).$$

Второй интеграл преобразуем к формуле 1:

$$\displaystyle \int \frac{xdx}{(x^{2}+5)^{2}}=\frac{1}{2}\int (x^{2}+5)^{-2}d(x^{2}+5)=\frac{1}{2}\frac{(x^{2}+5)^{-1}}{-1}=-\frac{1}{2(x^{2}+5)}.$$

В третьем интеграле заменяем переменную $\displaystyle x=\sqrt{5}\, \textrm{tg}\, z$; тогда $\displaystyle dx=\frac{\sqrt{5}dz}{\cos ^{2}z}$,

$$\displaystyle \int \frac{dx}{(x^{2}+5)^{2}}=\int \frac{\frac{\sqrt{5}dz}{\cos ^{2}z}}{\frac{25}{\cos ^{4}z}}=\frac{1}{5\sqrt{5}}\int \cos ^{2}zdz=\frac{1}{10\sqrt{5}}\int (1+\cos 2z)dz=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{10\sqrt{5}}\left ( z+\frac{1}{2}\sin 2z \right )=\frac{1}{10\sqrt{5}}\left ( \textrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}+\frac{x\sqrt{5}}{x^{2}+5} \right ).$$

Окончательно имеем:

$$\displaystyle I=\frac{1}{2}\ln (x^{2}+5)+\frac{5}{2(x^{2}+5)}-\frac{3}{10\sqrt{5}}\left ( \textrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}+\frac{x\sqrt{5}}{x^{2}+5} \right )+C=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{2}\ln (x^{2}+5)+\frac{25-3x}{10(x^{2}+5)}-\frac{3}{10\sqrt{5}}\textrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{5}}+C.$$