Интегрирование рациональных функций (теория). Практикум по математическому анализу. Урок 76

Рациональные функции всегда интегрируются в элементарных функциях. Целая рациональная функция (многочлен) интегрируется непосредственно:

$$\displaystyle \int (a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+...+a_{n})dx=\frac{a_{0}}{n+1}x^{n+1}+\frac{a_{1}}{n}x^{n}+...+a_{n}x+C.$$

Интеграл от дробной рациональной функции $\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$, где $P(x)$ и $Q(x)$ - многочлены, можно найти (выразить через элементарные функции) путем разложения на слагаемые, которые всегда преобразуются к формулам интегрирования.

Неправильную рациональную дробь, у которой степень числителя выше или равна степени знаменателя, можно делением числителя на знаменатель представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, у которой степень числителя ниже степени знаменателя.
Правильную рациональную дробь можно разложить на элементарные, всегда интегрируемые слагаемые дроби следующих двух видов:

$$\displaystyle \frac{A}{(x-a)^{m}},\: \frac{Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{n}},$$

где $m$ и $n$ — целые положительные числа.

Для разложения правильной рациональной дроби на элементарные слагаемые дроби нужно: '
а) Разложить знаменатель $Q(x)$ на простейшие действительные множители.
В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это разложение может содержать линейные и квадратные множители:

$$\displaystyle Q(x)=a_{0}(x-a)^{m}...(x-b)^{k}\cdot (x^{2}+px+q)^{n}...(x^{2}+cx+d)^{r}.$$

б) Написать схему разложения данной дроби на элементарные слагаемые дроби в следующем виде:

$$\displaystyle \frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_{1}}{x-a}+\frac{A_{2}}{(x-a)^{2}}+...+\frac{A_{m}}{(x-a)^{m}}+...+\frac{B_{1}}{x-b}+\frac{B_{2}}{(x-b)^{2}}+...+\frac{B_{k}}{(x-b)^{k}}+$$

$$\displaystyle +\frac{M_{1}x+N_{1}}{x^{2}+px+q}+\frac{M_{2}x+N_{2}}{(x^{2}+px+q)^{2}}+...+\frac{M_{n}x+N_{n}}{(x^{2}+px+q)^{n}}+...+\frac{C_{1}x+D_{1}}{x^{2}+cx+d}+\frac{C_{2}x+D_{2}}{(x^{2}+cx+d)^{2}}+...+\frac{C_{r}x+D_{r}}{(x^{2}+cx+d)^{r}},$$

где $\displaystyle A_{1},...,B_{1},...,M_{1},...,N_{1},...,C_{1},...,D_{1},...$ — некоторые постоянные. В эту схему для каждого множителя в разложении знаменателя $Q(x)$ вписывается столько элементарных слагаемых дробей, какова его кратность $(m,k,n,r,...)$.
Знаменателями элементарных дробей являются все целые степени каждого множителя в разложении $Q(x)$, начиная с первой степени и кончая той степенью, которую множитель имеет в разложении $Q(x)$.
Числителями элементарных дробей служат либо постоянные $\displaystyle A_{1},A_{2},...$ либо линейные функции $\displaystyle M_{1}x+N_{1},...$ смотря по тому, является ли знаменатель дроби некоторой степенью линейной или квадратной функции.
в) Освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства на $Q(x)$.
г) Составить систему уравнений, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в обеих частях полученного тождества. (Число этих уравнений должно быть равно числу неизвестных $\displaystyle (A_{1},...,B_{1},...,M_{1},...,N_{1},...,C_{1},...,D_{1},...)$.
д) Решить систему и подставить найденные значения $\displaystyle A_{1},...,B_{1},...,M_{1},...,N_{1},...,C_{1},...,D_{1},...$ в схему разложения.
После разложения на элементарные слагаемые дроби интегрирование всякой правильной рациональной дроби сводится
к нахождению интегралов вида
$\displaystyle I_{1}=\int \frac{dx}{(x-a)^{m}}$ и $\displaystyle I_{2}=\int \frac{Mx+N}{(x^{2}+px+q)^{n}}dx.$

Интеграл $\displaystyle I_{1}$ при $m\neq 1$ представляет формулу 1:

$$\displaystyle \int \frac{dx}{(x-a)^{m}}=\int (x-a)^{-m}d(x-a)=\frac{(x-a)^{-m+1}}{-m+1}+C,$$

а при $m=1$ представляет формулу 2:

$$\displaystyle \int \frac{dx}{x-a}=\ln \left | x-a \right |+C.$$

Интеграл $\displaystyle I_{2}$ при $n=1$ можно найти по правилу, указанному в уроке №73, а при $n$ = 2, 3, 4, ... путем преобразований, показанных в решении задач (см. следующий урок №77).