Интегрирование тригонометрических функций. Практикум по математическому анализу. Урок 75

Часто встречающиеся интегралы от выражений, содержащих тригонометрические функции следующих видов:

I. $\displaystyle \int \sin ^{n}xdx,\: \int \cos ^{n}xdx$, II. $\displaystyle \int \sin^{m}x\cos^{n}xdx$, III. $\displaystyle \int \textrm{tg}^{n}xdx,\: \int \textrm{ctg}^{n}xdx$, где $m$ и $n$ — целые положительные числа.
IV. $\displaystyle \int \sin ax\cos bxdx,\: \int \sin ax\sin bxdx,\: \int \cos ax\cos bxdx$.
можно свести к формулам интегрирования, а следовательно, и найти, руководствуясь следующими правилами:

1. Интегралы от четной степени синуса или косинуса можно найти путем понижения степени (вдвое) по формулам:

$$\displaystyle \sin ^{2}u=\frac{1}{2}(1-\cos 2u);\: \cos ^{2}u=\frac{1}{2}(1+\cos 2u);\: \sin u\cos u=\frac{1}{2}\sin 2u.$$

2. Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса можно найти путем отделения от нее одного множителя и замены кофункции новой переменной.

3. Интегралы вида II можно найти по правилу 1, если тип оба четные, или по правилу 2, если $m$ или $n$ (или и $m$ и $n$) нечетно.

4. Интегралы вида III можно найти путем замены $\displaystyle \textrm{tg}\, x$, или соответственно, $\displaystyle \textrm{ctg}\, x$ новой переменной.

5. Интегралы вида IV можно найти путем разложения на слагаемые по формулам:

$$\displaystyle \sin ax\cos bx=\frac{1}{2}\left [ \sin (a+b)x+\sin (a-b)x \right ],$$

$$\displaystyle \sin ax\sin bx=\frac{1}{2}\left [ \cos (a-b)x-\cos (a+b)x \right ],$$

$$\displaystyle \cos ax\cos bx=\frac{1}{2}\left [ \cos (a+b)x+\cos (a-b)x \right ].$$

Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \sin ^{2}3xdx$;
2) $\displaystyle \int \cos ^{4}xdx$;
3) $\displaystyle \int \sin ^{5}xdx$;
4) $\displaystyle \int \sin ^{4}x\cos ^{2}xdx$;
5) $\displaystyle \int \sin ^{6}kx\cos ^{3}kxdx$;
6) $\displaystyle \int \sin ^{3}x\cos ^{5}xdx$.
Решение. 1) Согласно правилу 1 имеем

$$\displaystyle \int \sin ^{2}3xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos 6x)dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{12}\int \cos 6xd(6x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{12}\sin 6x+C.$$

2) Применяя правило 1, получим

$$\displaystyle \int \cos ^{4}xdx=\int (\cos ^{2}x)^{2}dx=\frac{1}{4}\int (1+\cos 2x)^{2}dx=\frac{1}{4}\left [ \int dx+\int \cos 2xd(2x)+\int \cos ^{2}2xdx \right ].$$

Первые два интеграла представляют формулы, последний интеграл находим отдельно, по правилу 1:

$$\displaystyle \int \cos ^{2}2xdx=\frac{1}{2}\int (1+\cos 4x)dx=\frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{8}\int \cos 4xd(4x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin 4x.$$

Подставляя в предыдущее равенство, получим

$$\displaystyle \int \cos ^{4}xdx=\frac{1}{4}\left ( x+\sin 2x+\frac{x}{2}+\frac{1}{8}\sin 4x \right )+C=\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x+C.$$

3) По правилу 2 отделяем от нечетной степени один множитель $\displaystyle \sin ^{5}x=\sin ^{4}x\sin x$ и заменяем кофункцию новой переменной, т. е. полагаем $\cos x=z$. Тогда получим $-\sin xdx=dz$.

$$\displaystyle \int \sin ^{5}xdx=\int (1-\cos ^{2}x)^{2}\sin xdx=\int (1-z^{2})^{2}(-dz)=$$

$$\displaystyle =-\int (1-2z^{2}+z^{4})dz=-z+\frac{2z^{3}}{3}-\frac{z^{5}}{5}+C=C-\cos x+\frac{2}{3}\cos ^{3}x-\frac{1}{5}\cos ^{5}x.$$

4) Применяя правило 3 (1), получим

$$\displaystyle I=\int \sin ^{4}x\cos ^{2}xdx=\int \sin ^{2}x(\sin x\cos x)^{2}dx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}\cdot \frac{\sin ^{2}2x}{4}dx=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{8}\left ( \int \sin ^{2}2xdx-\int \sin ^{2}2x\cos 2xdx \right ).$$

Первый интеграл находим по правилу 1:

$$\displaystyle \int \sin ^{2}2xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos 4x)dx=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{8}\int \cos 4xd(4x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x.$$

Второй интеграл находим по правилу 3 (2), полагая $\sin 2x=z$. Тогда $2\cos 2xdx=dz$,

$$\displaystyle \int \sin ^{2}2x\cos 2xdx=\frac{1}{2}\int z^{2}dz=\frac{z^{3}}{6}=\frac{1}{6}\sin ^{3}2x.$$

Подставляя эти результаты, имеем

$$\displaystyle I=\frac{1}{8}\left ( \frac{1}{2}x-\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{6}\sin ^{3}2x \right )+C.$$

5) Согласно правилу 3(2) отделяем от нечетной степени один множитель $\displaystyle \cos ^{3}kx=\cos ^{2}kx\cos kx$ и заменяем кофункцию новой переменной, т. е. полагаем $\sin kx=z$. Тогда имеем $k\cos kxdx=dz$,

$$\displaystyle \int \sin ^{6}kx\cos ^{3}kxdx=\int \sin ^{6}kx(1-\sin ^{2}kx)\cos kxdx=\frac{1}{k}\int z^{6}(1-z^{2})dz=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{k}\left ( \int z^{6}dz-\int z^{8}dz \right )=\frac{1}{k}\left ( \frac{z^{7}}{7}-\frac{z^{9}}{9} \right )+C=\frac{1}{7k}\sin ^{7}kx-\frac{1}{9k}\sin ^{9}kx+C.$$

6) Применяем правило 3(2): отделяем от одной из нечетных степеней (низшей) один множитель $\displaystyle \sin ^{3}x=\sin ^{2}x\sin x$ и заменяем $\cos x$ через $z$; тогда найдем: $-\sin xdx=dz$ и

$$\displaystyle \int \sin ^{3}x\cos ^{5}xdx=\int (1-\cos ^{2}x)\cos ^{5}x\sin xdx=-\int (1-z^{2})z^{5}dz=$$

$$\displaystyle =-\int z^{5}dz+\int z^{7}dz=\frac{1}{8}z^{8}-\frac{1}{6}z^{6}+C=\frac{1}{8}\cos ^{8}x-\frac{1}{6}\cos ^{6}x+C.$$

Пример 2. Найти интегралы: 1) $\displaystyle \int \textrm{tg}^{4}\, xdx$; 2) $\displaystyle \int \sin 3x\cos 5xdx$.
Решение: 1) Применяя правило 4, полагаем $\textrm{tg}\, x=z$, тогда $\displaystyle x=\textrm{arctg}\, z,\: dx=\frac{dz}{1+z^{2}}$,

$$\displaystyle \int \textrm{tg}^{4}\, xdx=\int \frac{z^{4}}{z^{2}+1}dz=\int \left ( z^{2}-1+\frac{1}{z^{2}+1} \right )dz=$$

$$\displaystyle =\int z^{2}dz-\int dz+\int \frac{dz}{z^{2}+1}=\frac{z^{3}}{3}-z+\textrm{arctg}\, z+C=\frac{1}{3}\textrm{tg}^{3}\, x-\textrm{tg}\, x+x+C.$$

2) Применяем правило 5; разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой, затем интегрируем:

$$\displaystyle \int \sin 3x\cos 5xdx=\frac{1}{2}\int \left [ \sin 8x+\sin (-2x) \right ]dx=\frac{1}{16}\int \sin 8xd(8x)-\frac{1}{4}\int \sin 2xd(2x)=$$

$$\displaystyle =\frac{1}{4}\cos 2x-\frac{1}{16}\cos 8x+C.$$