Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен (продолжение). Практикум по математическому анализу. Урок 74

Пример 2. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-3}}$;
2) $\displaystyle \int \frac{(3x-5)dx}{\sqrt{9+6x-3x^{2}}}$.
Решение. 1) Выделив из трехчлена полный квадрат $\displaystyle x^{2}-4x-3=(x-2)^{2}-7$, записав $d(x-2)$ вместо $dx$ и интегрируя, найдем

$$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-4x-3}}=\int \frac{d(x-2)}{\sqrt{(x-2)^{2}-7}}=\ln \left | x-2+\sqrt{(x-2)^{2}-7} \right |+C,$$

(по формуле II, при $u=x-2,\: a=-7$).

2) Выделяем из квадратного трехчлена полный квадрат

$$9+6x-3x^{2}=-3(x^{2}-2x-3)=-3\left [ (x-1)^{2}-4 \right ]=3\left [ 4-(x-1)^{2} \right ]$$

и вводим новую временную $z=x-1$. Тогда получим: $dx=dz$,

$$\displaystyle I=\int \frac{(3x-5)dx}{\sqrt{9+6x-3x^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\int \frac{3z-2}{\sqrt{4-z^{2}}}dz.$$

Разложив полученный интеграл на два интеграла,

$$\displaystyle I=\frac{3}{\sqrt{3}}\int \frac{zdz}{\sqrt{4-z^{2}}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\int \frac{dz}{\sqrt{4-z^{2}}}=\sqrt{3}I_{1}-\frac{2}{\sqrt{3}}I_{2},$$

находим каждый из них отдельно.
Первый интеграл преобразуем к формуле 1, умножая и деля его на —2 и заменяя $-2zdz$ через $\displaystyle d(4-z^{2})$:

$$\displaystyle I_{1}=\int \frac{zdz}{\sqrt{4-z^{2}}}=-\frac{1}{2}\int (4-z^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2zdz)=$$

$$\displaystyle =-\frac{1}{2}\int (4-z^{2})^{-\frac{1}{2}}d(4-z^{2})=-(4-z^{2})^{\frac{1}{2}}.$$

Второй интеграл находим по формуле 10, при $u=z,\: a=2$:

$$\displaystyle I_{2}=\int \frac{dz}{\sqrt{4-z^{2}}}=\textrm{arcsin}\, \frac{z}{2}.$$

Подставляя найденные интегралы $I_{1}$ и $I_{2}$ и возвращаясь к переменной $x$, получим

$$\displaystyle I=C-\sqrt{3(4-z^{2})}-\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{arcsin}\, \frac{z}{2}=C-\sqrt{9+6x-3x^{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}\textrm{arcsin}\, \frac{x-1}{2}.$$

Пример 3. Посредством формулы интегрирования по частям $\displaystyle \int udv=uv-\int vdu$ найти интегралы:

A) $\displaystyle \int \sqrt{t^{2}+b}dt$ и Б) $\displaystyle \int \sqrt{a^{2}-t^{2}}dt$.

Затем, пользуясь полученными результатами как формулами, найти интегралы:

1) $\displaystyle \int \sqrt{x^{2}-3}dx$; 2) $\displaystyle \int \sqrt{x^{2}+2x+6}dx$; 3) $\displaystyle \int \sqrt{3+4x-x^{2}}dx$.

Решение. А) Полагая в формуле интегрирования по частям $\displaystyle u=\sqrt{t^{2}+b},\: dv=dt$, получим $\displaystyle du=\frac{tdt}{\sqrt{t^{2}+b}},\: v=t$ и

$$\displaystyle I=\int \sqrt{t^{2}+b}dt=t\sqrt{t^{2}+b}-\int \frac{t^{2}}{\sqrt{t^{2}+b}}dt.$$

Прибавив и вычтя постоянную $b$ в числителе подынтегральной функции последнего интеграла, разложим его на два интеграла:

$$\displaystyle I=t \sqrt{t^{2}+b}-I+b\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+b}}.$$

Далее, перенося искомый интеграл $I$ из правой части равенства в левую и заменяя интеграл, оставшийся в правой части равенства, по формуле И, получим

$$\displaystyle 2I=t \sqrt{t^{2}+b}+b\int \frac{dt}{\sqrt{t^{2}+b}},$$

$$\displaystyle I=\int \sqrt{t^{2}+b}dt=\frac{t}{2}\sqrt{t^{2}+b}+\frac{b}{2}\ln \left | t+\sqrt{t^{2}+b} \right |+C.\; \; \; (A)$$

Б) Пусть $\displaystyle u=\sqrt{a^{2}-t^{2}},\: dv=dt$, тогда $\displaystyle du=\frac{-t}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}dt,\: v=t$ и по формуле интегрирования по частям

$$\displaystyle J=\int \sqrt{a^{2}-t^{2}}dt=t\sqrt{a^{2}-t^{2}}-\int \frac{-t^{2}}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}dt.$$

Последний интеграл разложим на два интеграла, прибавляя и вычитая постоянную $a^{2}$ в числителе его подынтегральной функции:

$$\displaystyle J=t\sqrt{a^{2}-t^{2}}-J+a^{2}\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}},$$

откуда получим

$$\displaystyle 2J=t\sqrt{a^{2}-t^{2}}+a^{2}\int \frac{dt}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}},$$

$$\displaystyle J=\int \sqrt{a^{2}-t^{2}}dt=\frac{t}{2}\sqrt{a^{2}-t^{2}}+\frac{a^{2}}{2}\textrm{arcsin}\, \frac{t}{a}+C.\; \; (B)$$

1) Пользуясь равенством (А) как формулой, при $t=x,\, b=-3$, получим

$$\displaystyle \int \sqrt{x^{2}-3}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-3}-\frac{3}{2}\ln \left | x+\sqrt{x^{2}-3} \right |+C.$$

2) Выделяем полный квадрат в подкоренном выражении $\displaystyle x^{2}+2x+6=(x+1)^{2}+5$, затем применяем формулу (А), полагая в ней $\displaystyle t=x+1,\: b=5$:

$$\displaystyle \int \sqrt{x^{2}+2x+6}dx=\int \sqrt{(x+1)^{2}+5}d(x+1)=$$

$$\displaystyle =\frac{x+1}{2}\sqrt{(x+1)^{2}+5}+\frac{5}{2}\ln \left [ x+1+\sqrt{(x+1)^{2}+5} \right ]+C.$$

3) Выделяя полный квадрат в подкоренном выражении $\displaystyle 3+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-3)=-((x-2)^{2}-7)=7-(x-2)^{2}$ и применяя формулу (B), при $\displaystyle t=x-2,\: a^{2}=7$, получим

$$\displaystyle \int \sqrt{3+4x-x^{2}}dx=\int \sqrt{7-(x-2)^{2}}d(x-2)=\frac{x-2}{2}\sqrt{7-(x-2)^{2}}+\frac{7}{2}\textrm{arcsin}\, \frac{x-2}{\sqrt{7}}+C.$$