Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен. Практикум по математическому анализу. Урок 73

Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен

$$\displaystyle \int \frac{Ax+B}{ax^{2}+bx+c}dx;\: \int \frac{Ax+B}{\sqrt{ax^{2}+bx+c}}dx;\: \int \sqrt{ax^{2}+bx+c}\, dx.$$

Для отыскания указанных интегралов от функций, содержащих квадратный трехчлен, для преобразования их к формулам интегрирования следует вначале выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, в результате чего он преобразуется в квадратный двучлен

$$\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2} +\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}\right ]=a\left [ \left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}\pm k^{2} \right ].$$

В дальнейшем интегралы указанных видов можно свести к формулам интегрирования посредством преобразований, применяемых в решении следующих задач.
Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4x+8};$
2) $\displaystyle \int \frac{7-8x}{2x^{2}-3x+1}dx;$
3) $\displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}+6x+9}dx;$
4) $\displaystyle \int \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx.$
Решение. 1) Выделив из квадратного трехчлена полный квадрат $\displaystyle x^{2}+4x+8=(x+2)^{2}+4$, записав $d(x+2)$ вместо $dx$ и интегрируя, получим

$$\displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+4x+8}=\int \frac{d(x+2)}{(x+2)^{2}+4}=\frac{1}{2}\textrm{arctg}\, \frac{x+2}{2}+C,$$

по формуле 8, при $\displaystyle u=x+2,\: a=2.$
2) Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат

$$\displaystyle 2x^{2}-3x+1=2\left ( x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2} \right )=2\left [ \left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2} +\frac{1}{2}-\frac{9}{16}\right ]=2\left [ \left ( x-\frac{3}{4} \right )^{2} -\frac{1}{16}\right ]$$

и заменим переменную $x$, полагая $\displaystyle x-\frac{3}{4}=t$. Тогда получим: $dx=dt$,

$$\displaystyle I=\int \frac{(7-8x)dx}{2x^{2}-3x+1}=\frac{1}{2}\int \frac{1-8t}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt.$$

Далее разложим полученный интеграл на два слагаемых интеграла, соответственно двум слагаемым в числителе, и находим их по формулам:

$$\displaystyle I=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt-2\int \frac{2tdt}{t^{2}-\frac{1}{16}}dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{4}}\ln \left | \frac{t-\frac{1}{4}}{t+\frac{1}{4}} \right |-2\ln \left | t^{2}-\frac{1}{16} \right |+C.$$

Возвращаясь к переменной $x$, окончательно получим

$$\displaystyle I=\ln \left | \frac{x-1}{x-0,5} \right |-2\ln \left | x^{2}-1,5x+0,5 \right |+C.$$

3) Выделяем полный квадрат $\displaystyle x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}$, вводим новую переменную $t=x+3$; тогда получим $dx=dt$ и

$$\displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}+6x+9}dx=\int \frac{3t-11}{t^{2}}dt=\int \left ( \frac{3}{t}+\frac{11}{t^{2}} \right )dt=3\int \frac{dt}{t}-$$

$$\displaystyle -11\int t^{-2}dt=3\ln \left | t \right |+11t^{-1}+C=3\ln \left | x+3 \right |+\frac{11}{x+3}+C.$$

4) Вначале выделяем из подынтегральной неправильной дроби целую часть, деля числитель на знаменатель:

$$\displaystyle \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx=-2x+1+\frac{x-1}{2x-3x^{2}},$$

затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:

$$\displaystyle J=\int \frac{6x^{3}-7x^{2}+3x-1}{2x-3x^{2}}dx=-2\int xdx+\int dx+\int \frac{(x-1)dx}{2x-3x^{2}}=-x^{2}+x+J_{1}.$$

Интеграл $\displaystyle J_{1}$ преобразуем к формулам 2 и 9:

$$\displaystyle J_{1}=-\frac{1}{3}\int \frac{(x-1)dx}{x^{2}-\frac{2}{3}x}=-\frac{1}{3}\int \frac{dx}{x-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}\int \frac{d\left ( x-\frac{1}{3} \right )}{\left ( x-\frac{1}{3} \right )^{2}-\frac{1}{9}}=-\frac{1}{3}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |+$$

$$\displaystyle +\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{1}{3}}\ln \left | \frac{x-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}}{x-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} \right |=-\frac{1}{3}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |+\frac{1}{2}\ln \left | \frac{x-\frac{2}{3}}{x} \right |.$$

Окончательно получим

$$\displaystyle J=C-x^{2}+x+\frac{1}{6}\ln \left | x-\frac{2}{3} \right |-\frac{1}{2}\ln \left | x \right |.$$