Интегрирование по частям. Практикум по математическому анализу. Урок 72

Интегрирование по частям. Практикум по математическому анализу. Урок 72

Из формулы дифференциала произведения d(uv)=udv+vdu интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:

\displaystyle \int udv=uv-\int vdu.\; \; \; \; (*)

По этой формуле отыскание интеграла \displaystyle \int udv сводится к отысканию другого интеграла \displaystyle \int vdu. Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу \displaystyle \int f(x)dx следует подынтегральное выражение f(x)dx представить в виде произведения двух множителей: u и dv; за dv всегда выбирается такое выражение, содержащее dx, из которого посредством интегрирования можно найти v; за u в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается (например: \displaystyle \textrm{arcsin}\, x,\: \textrm{arctg}\, 3x,\: \ln x,\: x^{3}).
Пример 1. Найти интегралы:
1) \displaystyle \int x\cos xdx;
2) \displaystyle \int \frac{\ln x}{x^{3}}dx;
3) \displaystyle \int x \textrm{arctg}\, xdx;
4) \displaystyle \int \textrm{arcsin}\, xdx;
5) \displaystyle \int x^{2}e^{3x}dx;
6) \displaystyle \int e^{-x}\cos \frac{x}{2}dx.
Решение.
1) Положив \displaystyle u=x,\: dv=\cos xdx, найдем: \displaystyle du=dx,\: v=\int \cos xdx=\sin x. Подставляя в формулу (*), получим

\displaystyle \int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C.


2) Пусть \displaystyle u=\ln x,\: dv=\frac{dx}{x^{3}}, тогда \displaystyle du=\frac{dx}{x},\: v=\int \frac{dx}{x^{3}}=\int x^{-3}dx=-\frac{1}{2x^{2}}. Подставляя в формулу (*), найдем

\displaystyle \int \frac{\ln x}{x^{3}}dx=-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\int -\frac{1}{2x^{2}}\cdot \frac{dx}{x}=-\frac{\ln x}{2x^{2}}-\frac{1}{4x^{2}}+C=C-\frac{1+2\ln x}{4x^{2}}.


3) Пусть \displaystyle u=\textrm{arctg}\, x,\: dv=xdx, тогда \displaystyle du=\frac{dx}{1+x^{2}},\: v=\int xdx=\frac{x^{2}}{2}.
По формуле (*), получим

\displaystyle I=\int x \textrm{arctg}\, xdx=\frac{x^{2}}{2}\textrm{arctg}\, x-\frac{1}{2}\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx.\; \; (1)


Последний интеграл находим отдельно:
\displaystyle \int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx=\int \frac{1+x^{2}-1}{1+x^{2}}dx=\int \left ( 1-\frac{1}{1+x^{2}} \right )dx=x-\textrm{arctg}\, x.
Подставляя этот результат в равенство (1), имеем
\displaystyle I=\frac{x^{2}}{2}\textrm{arctg}\, x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\textrm{arctg}\, x+C=C-\frac{x}{2}+\frac{x^{2}+1}{2}\textrm{arctg}\, x.
4) Полагая \displaystyle u=\textrm{arcsin}\, x,\: dv=dx, найдем: \displaystyle du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}},\: v=\int dx=x. По формуле (*) получим

\displaystyle J=\int \textrm{arcsin}\, xdx=x\textrm{arcsin}\, x-\int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{2}}}.\; \; \; \; (2)


Последний интеграл найдем, преобразуя его к формуле 1:

\displaystyle \int \frac{xdx}{\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{1}{2}\int (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}(-2xdx)=-\frac{1}{2}\int (1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}d(1-x^{2})=-(1-x^{2})^{\frac{1}{2}}.


Подставляя в равенство (2), имеем

\displaystyle J=x\textrm{arcsin}\, x+\sqrt{1-x^{2}}+C.

5) Положим \displaystyle u=x^{2},\: dv=e^{3x}dx, тогда \displaystyle du=2xdx,\: v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}\int e^{3x}d(3x)=\frac{1}{3}e^{3x}. По формуле (*) найдем

\displaystyle I=\int x^{2}e^{3x}dx=\frac{x^{2}}{3} e^{3x}-\frac{2}{3}\int xe^{3x}dx.\; \; \; \; \; (3)

К последнему интегралу вновь применяем формулу интегрирования по частям. Положим \displaystyle u=x,\: dv=e^{3x}dx, тогда \displaystyle du=dx,\: v=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}e^{3x}. По формуле (*) получим

\displaystyle \int xe^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{3}\int e^{3x}dx=\frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x}.


Подставляя в (3), имеем

\displaystyle I=\frac{x^{2}}{3}e^{3x}-\frac{2}{3}\left ( \frac{x}{3}e^{3x}-\frac{1}{9}e^{3x} \right )+C=\frac{e^{3x}}{27}(9x^{2}-6x+2)+C.


Здесь понадобилось применить формулу (*) дважды. Очевидно, если бы под интегралом вместо x^{2} было x^{3}, то пришлось бы эту формулу применить три раза. Вообще, для нахождения интеграла \displaystyle \int x^{n}e^{x}dx, а также и интегралов \displaystyle \int x^{n}\sin xdx,\: \int x^{n}\cos xdx (n — целое положительное число) требуется применить интегрирование по частям n раз.
6) Пусть \displaystyle u=e^{-x},\: dv=\cos \frac{x}{2}dx, тогда \displaystyle du=-e^{-x}dx,\: v=\int \cos \frac{x}{2}dx=2\int \cos \frac{x}{2}d\left ( \frac{x}{2} \right )=2\sin \frac{x}{2}. По формуле (*) имеем

\displaystyle I=\int e^{-x}\cos \frac{x}{2}dx=2e^{-x}\sin \frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin \frac{x}{2}dx.\; \; \; (4)

К полученному интегралу I снова применяем интегрирование по частям. Полагая \displaystyle u=e^{-x},\: dv=\sin \frac{x}{2}dx, получим \displaystyle du=-e^{-x},\: v=\int \sin \frac{x}{2}dx=2\int \sin \frac{x}{2}d\left ( \frac{x}{2} \right )=-2\cos \frac{x}{2},

\displaystyle I_{1}=\int e^{-x} \sin \frac{x}{2}dx=-2e^{-x}\cos \frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos \frac{x}{2}dx=-2e^{-x}\cos \frac{x}{2}-2I.


Подставляя этот результат в (4), получим уравнение с неизвестным интегралом I:

\displaystyle I=2 e^{-x} \sin \frac{x}{2}+2\left ( -2e^{-x}\cos \frac{x}{2}-2I \right ),


из которого находим

\displaystyle 5I=2 e^{-x} \sin \frac{x}{2}-4e^{-x}\cos \frac{x}{2},\: I=\frac{2}{5}e^{-x}\left ( \sin \frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2} \right )+C.


Если при отыскании I_{1} выбрать u и dv иначе: \displaystyle u=\sin \frac{x}{2},\: dv=e^{-x}dx, то получим \displaystyle du=\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}dx,\: v=-e^{-x},
\displaystyle I_{1}=-e^{-x}\sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\int e^{-x}\cos \frac{x}{2}dx=-e^{-x}\sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2}I.
Подставляя I_{1} в равенство (4), получим бесполезное тождество

\displaystyle I=2e^{-x}\sin \frac{x}{2}+2\left ( -e^{-x}\sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2}I \right );\: 0=0.

Это решение показывает, что повторное интегрирование по частям может привести к исходному интегралу I. В таком случае получается или уравнение, из которого легко найти I, или, при неудачном выборе u и dv в повторном интегрировании, бесполезное тождество.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

3 + 14 =