Из формулы дифференциала произведения интегрированием обеих частей равенства получается формула интегрирования по частям:
По этой формуле отыскание интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Применение ее целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен.
Для применения формулы интегрирования по частям к некоторому интегралу следует подынтегральное выражение представить в виде произведения двух множителей: и ; за всегда выбирается такое выражение, содержащее , из которого посредством интегрирования можно найти ; за в большинстве случаев принимается функция, которая при дифференцировании упрощается (например: ).
Пример 1. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение.
1) Положив , найдем: . Подставляя в формулу (*), получим
2) Пусть , тогда . Подставляя в формулу (*), найдем
3) Пусть , тогда .
По формуле (*), получим
Последний интеграл находим отдельно:
Подставляя этот результат в равенство (1), имеем
4) Полагая , найдем: . По формуле (*) получим
Последний интеграл найдем, преобразуя его к формуле 1:
Подставляя в равенство (2), имеем
5) Положим , тогда . По формуле (*) найдем
К последнему интегралу вновь применяем формулу интегрирования по частям. Положим , тогда . По формуле (*) получим
Подставляя в (3), имеем
Здесь понадобилось применить формулу (*) дважды. Очевидно, если бы под интегралом вместо было , то пришлось бы эту формулу применить три раза. Вообще, для нахождения интеграла , а также и интегралов ( — целое положительное число) требуется применить интегрирование по частям раз.
6) Пусть , тогда . По формуле (*) имеем
К полученному интегралу I снова применяем интегрирование по частям. Полагая , получим ,
Подставляя этот результат в (4), получим уравнение с неизвестным интегралом I:
из которого находим
Если при отыскании выбрать и иначе: , то получим
Подставляя в равенство (4), получим бесполезное тождество
Это решение показывает, что повторное интегрирование по частям может привести к исходному интегралу I. В таком случае получается или уравнение, из которого легко найти I, или, при неудачном выборе и в повторном интегрировании, бесполезное тождество.