Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла можно заменить переменную новой переменной , связанной с подходящей формулой . Определив из этой формулы и подставляя, получим
Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования будет найден, то преобразовав результат к переменной , пользуясь исходной формулой получим искомое выражение заданного интеграла.
Например, чтобы найти интеграл , положим .
Тогда и
Или иначе: пусть . Отсюда и
Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба они правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно брать как формулу , выражающую через , так и формулу , выражающую через .
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов интегралов даются ниже.
Пример 1. Найти интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение.
1) Полагаем ; дифференцируем , подставляем в подынтегральное выражение, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной :
2) Положим . Тогда и
3) Применим подстановку , имеем и
4) Подстановка дает и
5) Берем подстановку , дифференцируем , определяем , подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной :
6) Полагая , получим ,