Интегрирование посредством замены переменной. Практикум по математическому анализу. Урок 71

Интегрирование посредством замены переменной. Практикум по математическому анализу. Урок 71

Весьма эффективным методом интегрирования является метод замены переменной интегрирования, в результате чего заданный интеграл заменяется другим интегралом. Для нахождения интеграла \displaystyle \int f(x)dx можно заменить переменную x новой переменной t, связанной с x подходящей формулой x=\varphi (t). Определив из этой формулы dx=\varphi' (t)dt и подставляя, получим

\displaystyle \int f(x)dx=\int f\left [ \varphi (t) \right ]\varphi '(t)dt=\int F(t)dt.



Если полученный интеграл с новой переменной интегрирования t будет найден, то преобразовав результат к переменной x, пользуясь исходной формулой x=\varphi (t) получим искомое выражение заданного интеграла.
Например, чтобы найти интеграл \displaystyle I=\int \frac{dx}{1+\sqrt{x}}, положим \displaystyle x=t^{2}.
Тогда dx=2tdt и

\displaystyle I=\int \frac{2tdt}{1+t}=2\int \frac{t+1-1}{t+1}dt=2\int \left ( 1-\frac{1}{t+1} \right )dt=
\displaystyle =2\int dt-2\int \frac{dt}{t+1}=2t-2\ln(t+1)+C=2\sqrt{x}-2\ln (\sqrt{x}+1)+C.

Или иначе: пусть \displaystyle t=1+\sqrt{x}. Отсюда \displaystyle x=(t-1)^{2},\: dx=2(t-1)dt и

\displaystyle I=\int \frac{2(t-1)dt}{t}=2\int \left ( 1-\frac{1}{t} \right )dt=2\int dt-2\int \frac{dt}{t}=
\displaystyle =2t-2\ln t+C=2(1+\sqrt{x})-2\ln (1+\sqrt{x})+C.

Полученные результаты отличаются постоянным слагаемым 2; оба они правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Как показано в этом примере, при замене переменной можно брать как формулу x=\varphi (t), выражающую x через t, так и формулу t=\psi (x), выражающую t через x.
Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Некоторые частные правила для важнейших типов интегралов даются ниже.
Пример 1. Найти интегралы:
1) \displaystyle \int \frac{2xdx}{x^{4}+3};
2) \displaystyle \int \frac{\sin xdx}{\sqrt{1+2\cos x}};
3) \displaystyle \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x^{2}+a}};
4) \displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx;
5) \displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{e^{y}+1}};
6) \displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{(1-t^{2})^{3}}}.
Решение.
1) Полагаем \displaystyle x^{2}=t; дифференцируем 2xdx=dt, подставляем в подынтегральное выражение, находим полученный новый интеграл и возвращаемся к заданной переменной x:

\displaystyle \int \frac{2xdx}{x^{4}+3}=\int \frac{dt}{t^{2}+3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{x^{2}}{\sqrt{3}}+C.


2) Положим 1+2\cos x=t. Тогда -2\sin xdx=dt и

\displaystyle \int \frac{\sin xdx}{\sqrt{1+2\cos x}}=-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}=-\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt=
\displaystyle =-\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}}+C=C-\sqrt{t}=C-\sqrt{1+2\cos x}.

3) Применим подстановку \displaystyle x^{2}+a=z, имеем 2xdx=dz и

\displaystyle \int \frac{xdx}{\sqrt[3]{x^{2}+a}}=\frac{1}{2}\int \frac{dz}{\sqrt[3]{z}}=\frac{1}{2}\int z^{-\frac{1}{3}}dz=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}z^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{(x^{2}+a)^{2}}+C.

4) Подстановка 1+\ln x=v дает \displaystyle \frac{dx}{x}=dv и

\displaystyle \int \frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx=\int \sqrt{v}dv=\frac{2}{3}v^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{(1+\ln x)^{3}}+C.

5) Берем подстановку \displaystyle e^{y}+1=t^{2}, дифференцируем \displaystyle e^{y}dy=2tdt, определяем \displaystyle dy=\frac{2tdt}{e^{y}}=\frac{2tdt}{t^{2}-1}, подставляем в подынтегральное выражение, интегрируем и возвращаемся к переменной y:

\displaystyle \int \frac{dy}{\sqrt{e^{y}+1}}=\int \frac{2tdt}{t(t^{2}-1)}=2\int \frac{dt}{t^{2}-1}=2\cdot \frac{1}{2}\ln \frac{t-1}{t+1}+C=\ln \frac{\sqrt{e^{y}+1}-1}{\sqrt{e^{y}+1}+1}+C.

6) Полагая t=\sin \varphi, получим dt=\cos \varphi d\varphi,

\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{(1-t^{2})^{3}}}=\int \frac{d\varphi }{\cos ^{2}\varphi }=\textrm{tg}\,\varphi +C=\frac{\sin \varphi }{\cos \varphi }+C=\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}+C.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

восемь + четыре =