Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66

Пример 3. Найти координаты центра кривизны и построить кривую и круг кривизны кривой:
1) y=4x-x^{2} в ее вершине;
2) x=t-\sin t,\: y=1-\cos t в точке, где \displaystyle t=\frac{\pi }{2} .
Решение. 1) Данное уравнение определяет параболу, ось которой параллельна оси Oy . Найдем ее вершину как точку, где касательная параллельна оси Ox , т. е. где y'=0 :

y'=4-2x;\: y'=0 при x=2;\: y(2)=4.

Далее по формулам

\displaystyle X=x-\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{y}=x-\frac{1+(y')^{2}}{y''}y',


\displaystyle Y=y+\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{x}=y+\frac{1+(y')^{2}}{y''}.\; \; (2)


Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66
находим координаты центра кривизны C данной параболы в ее вершине (2; 4)

\displaystyle X=x-\frac{1+(y')^{2}}{y''}y'=2;\: Y=y+\frac{1+(y')^{2}}{y''}=\frac{7}{2}


и строим параболу и круг кривизны в ее вершине (рис. 82).
2) Находим производные \dot{x}=1-\cos t,\: \ddot{x}=\sin t,\: \dot{y}=\sin t,\: \ddot{y}=\cos t , их значения при \displaystyle t=\frac{\pi }{2} :

\displaystyle \dot{x}\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1,\: \ddot{x}\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1,\: \dot{y}\left ( \frac{\pi }{2} \right )=1,\: \ddot{y}\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0,


и по формулам (2) координаты центра кривизны

\displaystyle X=x-\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{y}=\frac{\pi }{2}+1;\: Y=y+\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{x}=-1.


Затем строим данную циклоиду, ее точку \displaystyle A\left ( \frac{\pi }{2}-1;1 \right ) , где
\displaystyle t=\frac{\pi }{2} , найденный центр кривизны \displaystyle C\left ( \frac{\pi }{2}+1;-1 \right ) и круг кривизны (рис. 83).
Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66
Пример 4. В каких точках параболы \displaystyle y=\sqrt{2}x^{2} радиус кривизны равен единице?
Решение. Находим производные \displaystyle y'=2\sqrt{2}x,\: y''=2\sqrt{2} и по формуле (1)

\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left [ 1+(y')^{2}\right ]^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}, \; \; \; \; (1)


радиус кривизны параболы в любой ее точке с абсциссой x :

\displaystyle R(x)=\frac{(1+8x^{2})^{\frac{3}{2}}}{2\sqrt{2}}.


Полагая R(x)=1 , получим абсциссы искомых точек

\displaystyle 2\sqrt{2}=(1+8x^{2})^{\frac{3}{2}};\: (2\sqrt{2})^{\frac{2}{3}}=1+8x^{2};\: 8x^{2}=1;\: x=\pm \frac{1}{2\sqrt{2}}.

$
Пример 5. В какой точке кривая \displaystyle y=e^{x} имеет наибольшую кривизну?
Решение. Находим производные \displaystyle y'=y''=e^{x} и кривизну данной кривой в любой точке:

\displaystyle K(x)=\frac{e^{x}}{(1+e^{2x})^{\frac{3}{2}}}.


Далее ищем наибольшее значение функции K(x) , которая определена и непрерывна на всей числовой оси:

\displaystyle K'(x)=\frac{e^{x}(1-2e^{2x})}{(1+e^{2x})^{\frac{5}{2}}};\: K'(x)=0 при \displaystyle 1-2e^{2x}=0,

т.е. в единственной точке \displaystyle x_{0}=-\frac{\ln 2}{2} . Определяя знаки K'(x) слева и справа от этой критической точки: K'(-10)>0, \: K'(0)<0 , устанавливаем, что она является точкой максимума функции K(x) . Поскольку x_{0} есть единственная точка экстремума непрерывной функции K(x) во всем интервале (-\infty ;+\infty ) , то в этой точке она достигает и своего наибольшего значения. Следовательно, искомая точка есть \displaystyle \left ( -\frac{\ln 2}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) . (Ордината этой точки вычислена из данного уравнения кривой по известной ее абсциссе.)
Пример 6. Найти уравнение эволюты кривой и построить кривую и ее эволюту:
1) \displaystyle x^{2}=2(1-y) ; 2) \displaystyle x=a\cos t,\: y=b\sin t .
Решение. 1) Из данного уравнения параболы находим производные: y'=-x,\: y''=-1 и по формулам (2) находим координаты любой точки на ее эволюте:

\displaystyle \left\{\begin{matrix} X=x-\frac{1+(y')^{2}}{y''}=x-\frac{1+x^{2}}{-1}(-x);\\ Y=y+\frac{1+(y')^{2}}{y''}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{1+x^{2}}{-1}; \end{matrix}\right.


\displaystyle \left\{\begin{matrix} X=-x^{3};\\ Y=-\frac{3}{2}x^{2}. \end{matrix}\right.


Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66
Это параметрические уравнения эволюты. Исключая из них параметр x , получим \displaystyle 27X^{2}=-8Y^{3} — уравнение полукубической параболы. Данная парабола и найденная ее эволюта изображены на рис. 84.
Кривизна плоской кривой (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 66
2) Из уравнений эллипса найдем производные \dot{x}=-a\sin t,\: \ddot{x}=-a\cos t,\: \dot{y}=b\cos t,\: \ddot{y}=-b\sin t и по формулам (2) получим, после упрощений, параметрические уравнения эволюты эллипса

\displaystyle X=\frac{c^{2}}{a}\cos ^{3}t,\: Y=-\frac{c^{2}}{b}\sin ^{3}t, где \displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}

Эллипс и его эволюта построены на рис. 85.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×