Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением $y=f(x)$ или уравнениями $x=\varphi (t),y=\psi (t)$ , то ее кривизна $K$ в любой точке определяется формулой

$\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left [ 1+(y')^{2}\right ]^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}, \; \; \; \; (1)$

где

$\dot{x},\ddot{x},\dot{y},\ddot{y}$ — первая и вторая производные от

$x$ и

$y$ по параметру

$t$ .
Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует отклонение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю; у других линий кривизна может равняться нулю только в отдельных точках. Кривизна окружности радиуса

$R$ всюду равна

$\displaystyle \frac{1}{R}$ .
Величина

$R$ , обратная кривизне кривой в некоторой ее точке

$\displaystyle R=\frac{1}{K}$ , называется радиусом кривизны кривой в этой точке.

Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Кругом кривизны кривой в ее точке

$M$ называется окружность с радиусом, равным радиусу кривизны кривой в точке

$M$ , центр которой

$C$ лежит на нормали к кривой в точке

$M$ со стороны ее вогнутости (рис. 81).
Координаты

$(X,Y)$ центра кривизны (центра круга кривизны) кривой в ее точке

$M(x,y)$ определяются формулами

$\displaystyle X=x-\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{y}=x-\frac{1+(y')^{2}}{y''}y',$

$\displaystyle Y=y+\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{x}=y+\frac{1+(y')^{2}}{y''}.\; \; (2)$

Геометрическое место центров кривизны

$C(X,Y)$ линии называется эволютой этой линии. Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Пример 1. Найти кривизну кривой:
1)

$x=t^{2},y=2t^{3}$ в точке, где

$t=1$ ;
2)

$y=\cos 2x$ в точке, где

$\displaystyle x=\frac{\pi }{2}$ .
Решение. 1) Находим производные

$\dot{x}=2t,\ddot{x}=2,\dot{y}=6t^{2},\ddot{y}=12t$ вычисляем их значения в точке, где

$t=1$ :

$\dot{x}=t,\ddot{x}=2,\dot{y}=6,\ddot{y}=12$

и, подставляя в формулу (1), получим

$\displaystyle K=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{2\cdot 12-6\cdot 2}{(2^{2}+6^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{20\sqrt{10}}.$

2) Из данного уравнения находим первую и вторую производные от

$y$ по

$x$ :

$y'=-2\sin 2x,\: y''=-4\cos 2x,$

вычисляем их значения в данной точке:

$\displaystyle y'\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0,\: y''\left ( \frac{\pi }{2} \right )=4$ и, подставляя в формулу (1), получим

$\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left | 1+(y')^{2} \right |^{\frac{3}{2}}}=4$ .
Пример 2. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса

$x=a\cos t,y=b\sin t$ .
Решение. Найдем производные

$\dot{x}=-a\sin t,\ddot{x}=-a\cos t,\dot{y}=b\cos t,\ddot{y}=-b\sin t$ и определим радиус кривизны эллипса в любой его точке:

$\displaystyle R(t)=\frac{1}{K(t)}=\frac{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}\right |}=\frac{(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t)^{\frac{3}{2}}}{ab}.$