Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением или уравнениями , то ее кривизна в любой точке определяется формулой
где — первая и вторая производные от и по параметру .
Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует отклонение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю; у других линий кривизна может равняться нулю только в отдельных точках. Кривизна окружности радиуса всюду равна .
Величина , обратная кривизне кривой в некоторой ее точке , называется радиусом кривизны кривой в этой точке.
Кругом кривизны кривой в ее точке называется окружность с радиусом, равным радиусу кривизны кривой в точке , центр которой лежит на нормали к кривой в точке со стороны ее вогнутости (рис. 81).
Координаты центра кривизны (центра круга кривизны) кривой в ее точке определяются формулами
Геометрическое место центров кривизны линии называется эволютой этой линии. Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Пример 1. Найти кривизну кривой:
1) в точке, где ;
2) в точке, где .
Решение. 1) Находим производные вычисляем их значения в точке, где :
и, подставляя в формулу (1), получим
2) Из данного уравнения находим первую и вторую производные от по :
вычисляем их значения в данной точке: и, подставляя в формулу (1), получим .
Пример 2. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса .
Решение. Найдем производные и определим радиус кривизны эллипса в любой его точке:
Для вершин эллипса, лежащих на его оси , параметр равен 0 или . Поэтому радиус кривизны эллипса в этих вершинах .
В двух других вершинах эллипса, лежащих на оси , или . В этих вершинах радиус кривизны эллипса