Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65

Если плоская линия отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнением y=f(x) или уравнениями x=\varphi (t),y=\psi (t) , то ее кривизна K в любой точке определяется формулой

\displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left [ 1+(y')^{2}\right ]^{\frac{3}{2}}}=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}, \; \; \; \; (1)


где \dot{x},\ddot{x},\dot{y},\ddot{y} — первая и вторая производные от x и y по параметру t .

Кривизна линии в некоторой ее точке характеризует отклонение линии от своей касательной в этой точке.
Из всех плоских линий постоянную кривизну имеют только прямая и окружность. У всех других линий кривизна меняется от точки к точке. Кривизна прямой всюду равна нулю; у других линий кривизна может равняться нулю только в отдельных точках. Кривизна окружности радиуса R всюду равна \displaystyle \frac{1}{R} .
Величина R , обратная кривизне кривой в некоторой ее точке \displaystyle R=\frac{1}{K} , называется радиусом кривизны кривой в этой точке.
Кривизна плоской кривой. Практикум по математическому анализу. Урок 65
Кругом кривизны кривой в ее точке M называется окружность с радиусом, равным радиусу кривизны кривой в точке M , центр которой C лежит на нормали к кривой в точке M со стороны ее вогнутости (рис. 81).
Координаты (X,Y) центра кривизны (центра круга кривизны) кривой в ее точке M(x,y) определяются формулами

\displaystyle X=x-\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{y}=x-\frac{1+(y')^{2}}{y''}y',


\displaystyle Y=y+\frac{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}}{\dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}}\dot{x}=y+\frac{1+(y')^{2}}{y''}.\; \; (2)


Геометрическое место центров кривизны C(X,Y) линии называется эволютой этой линии. Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями эволюты.
Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.
Пример 1. Найти кривизну кривой:
1) x=t^{2},y=2t^{3} в точке, где t=1 ;
2) y=\cos 2x в точке, где \displaystyle x=\frac{\pi }{2} .
Решение. 1) Находим производные \dot{x}=2t,\ddot{x}=2,\dot{y}=6t^{2},\ddot{y}=12t вычисляем их значения в точке, где t=1 :

\dot{x}=t,\ddot{x}=2,\dot{y}=6,\ddot{y}=12


и, подставляя в формулу (1), получим

\displaystyle K=\frac{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x} \right |}{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{2\cdot 12-6\cdot 2}{(2^{2}+6^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{3}{20\sqrt{10}}.


2) Из данного уравнения находим первую и вторую производные от y по x :

y'=-2\sin 2x,\: y''=-4\cos 2x,


вычисляем их значения в данной точке: \displaystyle y'\left ( \frac{\pi }{2} \right )=0,\: y''\left ( \frac{\pi }{2} \right )=4 и, подставляя в формулу (1), получим \displaystyle K=\frac{\left | y'' \right |}{\left | 1+(y')^{2} \right |^{\frac{3}{2}}}=4 .
Пример 2. Определить радиусы кривизны в вершинах эллипса x=a\cos t,y=b\sin t .
Решение. Найдем производные \dot{x}=-a\sin t,\ddot{x}=-a\cos t,\dot{y}=b\cos t,\ddot{y}=-b\sin t и определим радиус кривизны эллипса в любой его точке:

\displaystyle R(t)=\frac{1}{K(t)}=\frac{(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2})^{\frac{3}{2}}}{\left | \dot{x}\ddot{y}-\dot{y}\ddot{x}\right |}=\frac{(a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t)^{\frac{3}{2}}}{ab}.


Для вершин эллипса, лежащих на его оси 2a , параметр t равен 0 или \pi . Поэтому радиус кривизны эллипса в этих вершинах \displaystyle R(0)=R(\pi )=\frac{b^{2}}{a} .
В двух других вершинах эллипса, лежащих на оси 2b , \displaystyle t=\frac{\pi }{2} или \displaystyle t=\frac{3\pi }{2} . В этих вершинах радиус кривизны эллипса \displaystyle R\left ( \frac{\pi }{2} \right )=R\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=\frac{a^{2}}{b}.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×