Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения x^{5}-x-0,2=0 .
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду x^{5}=x+0,2 и построив кривые y=x^{5} и y=x+0,2 в одних координатных осях (рис. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,1].


Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64
Далее вычислим приближенное значение корня с заданной точностью, пользуясь методом хорд и касательных, т, е. применяя формулы (*), сужающие отрезок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять эти формулы, следует убедиться в том, что функция f(x)=x^{5}-x-0,2 и найденный отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а) значения функции f(x) на концах отрезка имеют разные знаки и что
б) первая и вторая производные от функции на этом отрезке сохраняют каждая свой знак:
а) f(1)=-0,2<0;\: f(1,1)=0,31051>0;
б) f'(x)=5x^{4}-1>0;\: f''(x)=20x^{3}>0
для всех значений х на отрезке [1; 1,1].
Так как f(x) имеет тот же знак, что и f''(x) при x=1,1 то, обозначив концы отрезка a=1,\: b=1,1=\beta и применяя формулы (*), получим:

\displaystyle a_{1}=1-\frac{(1,1-1)f(1)}{f(1,1)-f(1)}=1+\frac{0,1\cdot 0,2}{0,51051}=1,039;


\displaystyle b_{1}=1,1-\frac{f(1,1)}{f'(1,1)}=1,1-\frac{0,31051}{6,3205}=1,051.


К полученным новым границам a_{1} и b_{1} более узкого отрезка, содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):

\displaystyle a_{2}=a_{1}-\frac{(b_{1}-a_{1})f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})}=1,039+\frac{0,012\cdot 0,0282}{0,0595}=1,04469;


\displaystyle b_{2}=b_{1}-\frac{f(b_{1})}{f'(b_{1})}=1,051-\frac{0,0313}{5,1005}=1,04487.


Длина полученного отрезка \left [ a_{2};b_{2} \right ] меньше 2\delta , но больше \delta :

0,0001<\left | a_{2}-b_{2} \right |=0,00018<0,0002.

Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня данного уравнения с точностью до 0,0001 будет

\displaystyle x_{0}\approx \frac{a_{2}+b_{2}}{2}=1,0448.

Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный корень уравнения 2-x-\lg x=0 .
Решение. Чтобы отделить искомый корень, преобразуем уравнение к виду \lg x=2-x и построим кривые y=\lg x и y=2-x (рис. 80). По чертежу определяем, что искомый корень содержится внутри отрезка [1,6; 1,8].
Для проверки условий, соблюдение которых необходимо при пользовании методом хорд и касательных, вычисляем значения функции f(x)=2-x-\lg x на концах найденного отрезка и находим производные f'(x) и f''(x) :

f(1,6)=2-1,6-0,2041=0,1959>0;


f(1,8)=2-1,8-0,2553=-0,0553<0;

f'(x)=-1-\frac{1}{x}\lg e;\: f''(x)=\frac{1}{x^{2}}\lg e;

f'(x)<0,\, f''(x)>0 на всем отрезке [1,6; 1,8].
Убедившись, что на концах отрезка функция f(x) имеет разные знаки и что на всем этом отрезке производные f'(x) и f''(x) сохраняют каждая свой знак, обозначаем концы отрезка: a=1,6=\beta;\: b=1,8 и применяем уточняющие формулы (*):

\displaystyle a_{1}=1,6-\frac{(1,8-1,6)f(1,6)}{f(1,8)-f(1,6)}=1,6+0,1559=1,7559;


\displaystyle b_{1}=1,6-\frac{f(1,6)}{f'(1,6)}=1,6+0,1540=1,7540;


Повторно применяем формулы (*) до тех пор, пока не получим отрезок \left [ b_{n};a_{n} \right ] , длина которого будет удовлетворять одному из условий (**):

\displaystyle a_{2}=1,7559-\frac{(1,7540-1,7559)f(1,7559)}{f(1,7540)-f(1,7559)}=1,75558;


\displaystyle b_{2}=1,7540-\frac{f(1,7540)}{f'(1,7540)}=1,75557;


a_{3}=1,7555816;\: b_{3}=1,7555807.


Здесь длина отрезка \left [ b_{3};a_{3} \right ] менее 0,000001; a^{3}-b_{3}=0,0000009 . Поэтому искомое приближенное значение корня данного уравнения с точностью до 0,000001

x_{0}\approx b_{3}=1,75581.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: