Приближенное решение уравнений (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 64

Пример 2. Вычислить с точностью до 0,0001 наибольший корень уравнения $x^{5}-x-0,2=0$.
Решение. Вначале отделим искомый корень графическим методом. Преобразуя уравнение к виду $x^{5}=x+0,2$ и построив кривые $y=x^{5}$ и $y=x+0,2$ в одних координатных осях (рис. 79), при указанных неодинаковых по осям, но одинаковых для обеих кривых единицах масштаба, заключаем, что искомый наибольший корень содержится на отрезке [1; 1,1].

Далее вычислим приближенное значение корня с заданной точностью, пользуясь методом хорд и касательных, т, е. применяя формулы (*), сужающие отрезок, заключающий в себе этот корень.
Однако, прежде чем применять эти формулы, следует убедиться в том, что функция $f(x)=x^{5}-x-0,2$ и найденный отрезок [1; 1,1] удовлетворяют необходимым условиям, т. е. что:
а) значения функции $f(x)$ на концах отрезка имеют разные знаки и что
б) первая и вторая производные от функции на этом отрезке сохраняют каждая свой знак:
а)

$$\displaystyle a_{1}=1-\frac{(1,1-1)f(1)}{f(1,1)-f(1)}=1+\frac{0,1\cdot 0,2}{0,51051}=1,039;$$

$$\displaystyle b_{1}=1,1-\frac{f(1,1)}{f'(1,1)}=1,1-\frac{0,31051}{6,3205}=1,051.$$

К полученным новым границам $a_{1}$ и $b_{1}$ более узкого отрезка, содержащего искомый корень, применяем те же формулы (*):

$$\displaystyle a_{2}=a_{1}-\frac{(b_{1}-a_{1})f(a_{1})}{f(b_{1})-f(a_{1})}=1,039+\frac{0,012\cdot 0,0282}{0,0595}=1,04469;$$

$$\displaystyle b_{2}=b_{1}-\frac{f(b_{1})}{f'(b_{1})}=1,051-\frac{0,0313}{5,1005}=1,04487.$$

Длина полученного отрезка $\left [ a_{2};b_{2} \right ]$ меньше $2\delta$, но больше $\delta$:

$$0,0001<\left | a_{2}-b_{2} \right |=0,00018<0,0002.$$

Поэтому искомое приближенное значение наибольшего корня данного уравнения с точностью до 0,0001 будет

$$\displaystyle x_{0}\approx \frac{a_{2}+b_{2}}{2}=1,0448.$$

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,000001 действительный корень уравнения $2-x-\lg x=0$.
Решение. Чтобы отделить искомый корень, преобразуем уравнение к виду $\lg x=2-x$ и построим кривые $y=\lg x$ и $y=2-x$ (рис. 80). По чертежу определяем, что искомый корень содержится внутри отрезка [1,6; 1,8].
Для проверки условий, соблюдение которых необходимо при пользовании методом хорд и касательных, вычисляем значения функции $f(x)=2-x-\lg x$ на концах найденного отрезка и находим производные $f'(x)$ и $f''(x)$:

$$f(1,8)=2-1,8-0,2553=-0,0553<0;$$

$$f'(x)=-1-\frac{1}{x}\lg e;\: f''(x)=\frac{1}{x^{2}}\lg e;$$