Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63

1) Графический метод. Отделение корней. Действительные корни уравнения $f(x)=0$ являются абсциссами точек пересечения кривой $y=f(x)$ с осью $Ox$, а если это уравнение преобразуется к виду $\varphi_{1}(x)=\varphi_{2}(x)$, то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых $y=\varphi_{1}(x)$ и $y=\varphi_{2}(x)$.
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 2 (урок 7), можно находить приближенные значения действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения соответствующих кривых.
Однако этим графическим методом можно получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их вычислить с наперед заданной большой точностью.
Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения, т. е. для нахождения таких отрезков оси $Ox$, внутри которых содержится только по одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой точностью посредством аналитических методов.
2) Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных. Если на отрезке $\left [ a;b \right ]$ функция $f(x)$ непрерывна, а ее производная $f'(x)$ сохраняет знак и если $f(a)\cdot f(b)<0$, то внутри этого отрезка содержится только один действительный корень функции $f(x)$ или уравнения $f(x)=0$. Если, кроме того, на этом отрезке $f'(x)$ также сохраняет знак, то можно найти границы $a_{1}$ и $b_{1}$ более узкого отрезка, содержащего тот же корень, по формулам

$$\displaystyle a_{1}=a-\frac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)},\: b_{1}=\beta -\frac{f(\beta )}{f'(\beta )},\; \; \; (*)$$

где $\beta$ - тот конец отрезка $\left [ a;b \right ]$, в котором $f(x)$ имеет тот же знак, что и $f''(x)$.
Геометрически (рис. 75) границы нового отрезка $a_{1}$ и $b_{1}$ представляют абсциссы точек пересечения с осью $Ox$ хорды $AB$ и касательной $Bb_{1}$, которые будут ближе к искомому корню $x_{0}$, чем границы исходного отрезка $\left [ a;b \right ]$.
Далее, исходя из полученного суженного отрезка, по тем же формулам (*) можно найти границы $a_{2}$ и $b_{2}$ еще более узкого отрезка, содержащего в себе корень $x_{0}$.
Повторяя этот процесс последовательного сужения отрезка, содержащего корень т. е. повторяя применение формул (*), можно найти приближенное значение корня $x_{0}$ с любой заданной точностью.
Чтобы найти $x_{0}$ с точностью до $\delta$, следует вести вычисление $a_{n}$ и $b_{n}$ до тех пор, когда впервые окажется

$\left | a_{n}-b_{n} \right |<\delta$ или $\delta <\left | a_{n}-b_{n} \right |<2\delta.\; \; \;(**)$

Тогда, с точностью до $\delta$, в первом случае $x_{0}\approx a_{n}$ (или $x_{0}\approx b_{n}$), а во втором случае $\displaystyle x_{0}\approx \frac{a_{n}+b_{n}}{2}$.
Пример 1. Отделить действительные корни следующих уравнений:
1) $x^{2}-\cos x=0$; 2) $2x^{3}+x+1=0$; 3) $x-\textrm{ctg}\, x=0$.

Решение. Чтобы отделить действительные корни данного уравнения, т. е. чтобы каждый из них заключить внутри особого небольшого отрезка, воспользуемся графическим методом.
1) Преобразуем данное уравнение к виду $x^{2}=\cos x$ и построим кривые $y=x^{2}$ и $y=\cos x$, в одних и тех же координатных осях и при одной и той же единице масштаба (рис. 76).
Число точек пересечения этих кривых равно числу действительных корней данного уравнения, а их абсциссы являются этими корнями.
Согласно этому положению из чертежа находим: данное трансцендентное уравнение $x^{2}-\cos x=0$ имеет два действительных корня, один из которых $x_{1}$ содержится на отрезке [- 1;- 0,8], а другой $x_{2}$ на отрезке [0,8; 1].

2) Преобразуя уравнение $2x^{3}+x+1=0$ к виду $2x^{3}=-x-1$ и построив кривые $y=2x^{3}$ и $y=-x-1$ в одних координатных осях (рис. 77), заключаем: данное алгебраическое уравнение имеет только один действительный корень, содержащийся на отрезке [- 0,6; -0,5].
3) Приводим уравнение $x-\textrm{ctg}\, x=0$ к виду $x=\textrm{ctg}\, x$ и построим кривые $y=x$ и $y=\textrm{ctg}\, x$ (рис. 78).

Котангенсоида имеет бесчисленное множество бесконечных ветвей, каждая из которых пересекает прямую $y=x$. Поэтому данное уравнение имеет бесчисленное множество действительных корней. Наименьший положительный корень $x_{1}$ этого уравнения содержится на отрезке [0,8; 0,9].