Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63

1) Графический метод. Отделение корней. Действительные корни уравнения f(x)=0 являются абсциссами точек пересечения кривой y=f(x) с осью Ox , а если это уравнение преобразуется к виду \varphi_{1}(x)=\varphi_{2}(x) , то его действительные корни будут абсциссами точек пересечения кривых y=\varphi_{1}(x) и y=\varphi_{2}(x) .
Пользуясь этим, как было показано в решении задачи 2 (урок 7), можно находить приближенные значения действительных корней алгебраических и трансцендентных уравнений путем построения соответствующих кривых.
Однако этим графическим методом можно получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения, но нельзя их вычислить с наперед заданной большой точностью.
Поэтому графический метод обычно применяется лишь как вспомогательное средство для определения числа действительных корней уравнения и для их отделения, т. е. для нахождения таких отрезков оси Ox , внутри которых содержится только по одному корню. Затем, после такого отделения корней, каждый из них может быть вычислен с любой желаемой точностью посредством аналитических методов.
2) Уточнение корней уравнения методом хорд и касательных. Если на отрезке \left [ a;b \right ] функция f(x) непрерывна, а ее производная f'(x) сохраняет знак и если f(a)\cdot f(b)<0 , то внутри этого отрезка содержится только один действительный корень функции f(x) или уравнения f(x)=0 . Если, кроме того, на этом отрезке f'(x) также сохраняет знак, то можно найти границы a_{1} и b_{1} более узкого отрезка, содержащего тот же корень, по формулам

\displaystyle a_{1}=a-\frac{(b-a)f(a)}{f(b)-f(a)},\: b_{1}=\beta -\frac{f(\beta )}{f'(\beta )},\; \; \; (*)

где \beta - тот конец отрезка \left [ a;b \right ] , в котором f(x) имеет тот же знак, что и f''(x) . Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63
Геометрически (рис. 75) границы нового отрезка a_{1} и b_{1} представляют абсциссы точек пересечения с осью Ox хорды AB и касательной Bb_{1} , которые будут ближе к искомому корню x_{0} , чем границы исходного отрезка \left [ a;b \right ] .
Далее, исходя из полученного суженного отрезка, по тем же формулам (*) можно найти границы a_{2} и b_{2} еще более узкого отрезка, содержащего в себе корень x_{0} .
Повторяя этот процесс последовательного сужения отрезка, содержащего корень т. е. повторяя применение формул (*), можно найти приближенное значение корня x_{0} с любой заданной точностью.
Чтобы найти x_{0} с точностью до \delta , следует вести вычисление a_{n} и b_{n} до тех пор, когда впервые окажется

\left | a_{n}-b_{n} \right |<\delta или \delta <\left | a_{n}-b_{n} \right |<2\delta.\; \; \;(**)

Тогда, с точностью до \delta , в первом случае x_{0}\approx a_{n} (или x_{0}\approx b_{n} ), а во втором случае \displaystyle x_{0}\approx \frac{a_{n}+b_{n}}{2} .

Пример 1. Отделить действительные корни следующих уравнений:
1) x^{2}-\cos x=0 ; 2) 2x^{3}+x+1=0 ; 3) x-\textrm{ctg}\, x=0 .
Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63
Решение. Чтобы отделить действительные корни данного уравнения, т. е. чтобы каждый из них заключить внутри особого небольшого отрезка, воспользуемся графическим методом.
1) Преобразуем данное уравнение к виду x^{2}=\cos x и построим кривые y=x^{2} и y=\cos x , в одних и тех же координатных осях и при одной и той же единице масштаба (рис. 76).
Число точек пересечения этих кривых равно числу действительных корней данного уравнения, а их абсциссы являются этими корнями.
Согласно этому положению из чертежа находим: данное трансцендентное уравнение x^{2}-\cos x=0 имеет два действительных корня, один из которых x_{1} содержится на отрезке [- 1;- 0,8], а другой x_{2} на отрезке [0,8; 1].
Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63
2) Преобразуя уравнение 2x^{3}+x+1=0 к виду 2x^{3}=-x-1 и построив кривые y=2x^{3} и y=-x-1 в одних координатных осях (рис. 77), заключаем: данное алгебраическое уравнение имеет только один действительный корень, содержащийся на отрезке [- 0,6; -0,5].
3) Приводим уравнение x-\textrm{ctg}\, x=0 к виду x=\textrm{ctg}\, x и построим кривые y=x и y=\textrm{ctg}\, x (рис. 78).
Приближенное решение уравнений. Практикум по математическому анализу. Урок 63
Котангенсоида имеет бесчисленное множество бесконечных ветвей, каждая из которых пересекает прямую y=x . Поэтому данное уравнение имеет бесчисленное множество действительных корней. Наименьший положительный корень x_{1} этого уравнения содержится на отрезке [0,8; 0,9].

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: