Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

Пример 6. Исследовать функцию $\displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x$ и построить ее график.
Решение. I, II. Функция $\displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x$ определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V.а) Вертикальных асимптот нет;
б) $\displaystyle k=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\left ( 1+\frac{2 \textrm{arcctg}\, x}{x} \right )=1;$
$\displaystyle b_{1}=\underset{x \to +\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to +\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(+\infty)=0;$
$\displaystyle b_{2}=\underset{x \to -\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to -\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(-\infty)=2\pi.$
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимптоты: $y=x$ и $y=x+2\pi$ .
VI. $\displaystyle y'=1-\frac{2}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}$ существует всюду и обращается в нуль в точках $x=\pm 1$ , которые являются критическими. Исследуем эти точки по знаку второй производной:

$\displaystyle y''=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}};\: y''(-1)<0;\: y''(1)>0.$

Следовательно,

$x=-1$ есть точка максимума, а

$x=1$ есть точка минимума:

$\displaystyle y_{max}=y(-1)=\frac{3\pi }{2}-1;\: y_{min}=y(1)=\frac{\pi }{2}+1.$
В интервалах

$(-\infty ;-1)$ и

$(1;+\infty)$ , где

$y'>0$ , функция возрастает, а в интервале

$(-1;1)$ , где

$y'<0$ , функция убывает.

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

VII.

$\displaystyle y''=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}}$ всюду существует и обращается в нуль в точке

$x=0$ . Определяя знак

$y''$ слева и справа от этой точки:

$y''(-1)<0$ и

$y''(1)>0$ , заключаем, что при

$x=0$ график функции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале

$(-\infty;0)$ , где

$y''<0$ , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа, в интервале

$(0;+\infty)$ , где

$y''>0$ , он обращен выпуклостью вниз;

$\displaystyle y(0)=\frac{\pi }{2}$ .
VIII. Согласно результатам исследования строим график функции (рис. 73).
Пример 7. Исследовать функцию

$\displaystyle y=\left | e^{x}-1 \right |$ и построить ее график.
Решение. I, II. Функция

$\displaystyle y=\left | e^{x}-1 \right |$ определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. Функция всюду неотрицательна; ее график проходит через начало координат.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) При

$x\geq 0,\: y=e^{x}-1$ , при

$x<0,\: y=1-e^{x}$ ,

$\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{e^{x}-1}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{e^{x}}{1}=+\infty,$