Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

Пример 6. Исследовать функцию \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V.а) Вертикальных асимптот нет;
б) \displaystyle k=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\left ( 1+\frac{2 \textrm{arcctg}\, x}{x} \right )=1;
\displaystyle b_{1}=\underset{x \to +\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to +\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(+\infty)=0;
\displaystyle b_{2}=\underset{x \to -\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to -\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(-\infty)=2\pi.
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимптоты: y=x и y=x+2\pi .
VI. \displaystyle y'=1-\frac{2}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} существует всюду и обращается в нуль в точках x=\pm 1 , которые являются критическими. Исследуем эти точки по знаку второй производной:

\displaystyle y''=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}};\: y''(-1)<0;\: y''(1)>0.


Следовательно, x=-1 есть точка максимума, а x=1 есть точка минимума: \displaystyle y_{max}=y(-1)=\frac{3\pi }{2}-1;\: y_{min}=y(1)=\frac{\pi }{2}+1.
В интервалах (-\infty ;-1) и (1;+\infty) , где y'>0 , функция возрастает, а в интервале (-1;1) , где y'<0 , функция убывает. Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62
VII. \displaystyle y''=\frac{4x}{(1+x^{2})^{2}} всюду существует и обращается в нуль в точке x=0 . Определяя знак y'' слева и справа от этой точки: y''(-1)<0 и y''(1)>0 , заключаем, что при x=0 график функции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале (-\infty;0) , где y''<0 , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа, в интервале (0;+\infty) , где y''>0 , он обращен выпуклостью вниз; \displaystyle y(0)=\frac{\pi }{2} .
VIII. Согласно результатам исследования строим график функции (рис. 73).
Пример 7. Исследовать функцию \displaystyle y=\left | e^{x}-1 \right | и построить ее график.
Решение. I, II. Функция \displaystyle y=\left | e^{x}-1 \right | определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. Функция всюду неотрицательна; ее график проходит через начало координат.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) При x\geq 0,\: y=e^{x}-1 , при x<0,\: y=1-e^{x} ,

\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{e^{x}-1}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{e^{x}}{1}=+\infty,

т. е. при x \to +\infty асимптоты нет;

\displaystyle k=\underset{x \to -\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to -\infty }{\lim }\frac{1-e^{x}}{x}=0,

\displaystyle b=\underset{x \to -\infty }{\lim }(y-kx)=\underset{x \to -\infty }{\lim }(1-e^{x})=1,

т. е. при x \to -\infty график функции имеет невертикальную асимптоту y=1 . VI. y'=\pm e^{x} , где знак плюс соответствует значениям x из интервала (0;+\infty ) , где e^{x}-1>0 , а знак минус соответствует значениям x из интервала (-\infty;0) , где e^{x}-1<0 ; y' нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки x=0 , которая является критической. Слева от этой точки, где y'=-e^{x}<0 , функция убывает, а справа от нее, где y'=e^{x}>0 , функция возрастает. Это значит, что x=0 есть точка минимума: y_{min}=y(0)=0 .
VII. y''=\pm e^{x} , где как и у y' знак плюс соответствует значениям x>0 , а знак минус соответствует значениям x<0 ; y'' нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки x=0 . Слева от этой точки, где y''=-e^{x}<0 , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее, где y''=e^{x}>0 , график функции обращен выпуклостью вниз. Следовательно, x=0 есть абсцисса точки перегиба; y(0)=0 .
Здесь точка перегиба совпала с угловой точкой, в которой график функции имеет две различные односторонние касательные: y=-x\: y=x и минимальное значение ординаты.
Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62
VIII. Для построения графика функ ции дополнительно найдем несколько его точек, например (1;e-1),\: (-1;1-e^{-1}),\: (-2;1-e^{-2}) и определим угловые коэффициенты касательных (левую и правую производные) в угловой точке (0;0) :

k_{1}=y'_{(-)}(0)=-1,\: k_{2}=y'_{(+)}(0)=1.


Согласно полученным данным график функции изображен на рис. 74.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: