Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 62

Пример 6. Исследовать функцию \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция \displaystyle y=x+2\textrm{arcctg}\, x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V.а) Вертикальных асимптот нет;
б) \displaystyle k=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to \pm \infty}{\lim }\left ( 1+\frac{2 \textrm{arcctg}\, x}{x} \right )=1;
\displaystyle b_{1}=\underset{x \to +\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to +\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(+\infty)=0;
\displaystyle b_{2}=\underset{x \to -\infty}{\lim }(y-kx)=\underset{x \to -\infty}{\lim }2\textrm{arcctg}x=2\textrm{arcctg}(-\infty)=2\pi.
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимптоты: y=x и y=x+2\pi.
VI. \displaystyle y'=1-\frac{2}{1+x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} существует всюду и обращается в нуль в точках x=\pm 1, которые являются критическими. Исследуем эти точки по знаку второй производной:


Следовательно, x=-1 есть точка максимума, а x=1 есть точка минимума: \displaystyle y_{max}=y(-1)=\frac{3\pi }{2}-1;\: y_{min}=y(1)=\frac{\pi }{2}+1.
В интервалах (-\infty ;-1) и (1;+\infty), где

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

два × два =