Пример 6. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I, II. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
V.а) Вертикальных асимптот нет;
б)
Следовательно, график функции имеет две невертикальные асимптоты: и .
VI. существует всюду и обращается в нуль в точках , которые являются критическими. Исследуем эти точки по знаку второй производной:
Следовательно, есть точка максимума, а есть точка минимума:
В интервалах и , где , функция возрастает, а в интервале , где , функция убывает.
VII. всюду существует и обращается в нуль в точке . Определяя знак слева и справа от этой точки: и , заключаем, что при график функции имеет точку перегиба. Слева от нее, в интервале , где , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа, в интервале , где , он обращен выпуклостью вниз; .
VIII. Согласно результатам исследования строим график функции (рис. 73).
Пример 7. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I, II. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. Функция всюду неотрицательна; ее график проходит через начало координат.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет.
б) При , при ,
т. е. при асимптоты нет;
т. е. при график функции имеет невертикальную асимптоту . VI. , где знак плюс соответствует значениям из интервала , где , а знак минус соответствует значениям из интервала , где ; нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки , которая является критической. Слева от этой точки, где , функция убывает, а справа от нее, где , функция возрастает. Это значит, что есть точка минимума: .
VII. , где как и у знак плюс соответствует значениям , а знак минус соответствует значениям ; нигде не обращается в нуль и существует всюду, кроме точки . Слева от этой точки, где , график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от нее, где , график функции обращен выпуклостью вниз. Следовательно, есть абсцисса точки перегиба; .
Здесь точка перегиба совпала с угловой точкой, в которой график функции имеет две различные односторонние касательные: и минимальное значение ординаты.
VIII. Для построения графика функ ции дополнительно найдем несколько его точек, например и определим угловые коэффициенты касательных (левую и правую производные) в угловой точке :
Согласно полученным данным график функции изображен на рис. 74.