Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Пример 4. Исследовать функцию $y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x$ и построить ее график.
Решение. I, II. Функция $y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x$ определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как $y(-x)=y(x)$, и периодической, так как $\displaystyle y(x)=y\left ( x+\frac{\pi }{2} \right )$, с периодом $\displaystyle \frac{\pi }{2}$. Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале $\displaystyle \left [0;\frac{\pi }{2} \right )$; в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.
IV. При $x=0,\, y=1;\: y\neq 0$. График функции пересекает ось $Oy$ в точке (0; 1) и не пересекает ось $Ox$. При любом значении $x$ функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б) $\displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{x}=0;$
$\displaystyle b=\underset{x \to +\infty }{\lim}(y-kx)=\underset{x \to +\infty }{\lim}(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x)$ — не существует.
При $x \to -\infty$ невертикальной асимптоты также не существует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. $y'=4\sin ^{3}x\cos x-4\cos ^{3}x\sin x=4\sin x\cos x(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)=-2\sin 2x\cos 2x=-\sin 4x;$
$y'$ обращается в нуль в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ в точках $x=0$ и $\displaystyle x=\frac{\pi }{4}$, которые являются критическими. Других критических точек в интервале $\displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right )$ нет, так как $y'$ существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку $y''$ (по правилу IIб): $y''=-4\cos 4x;\: y''(0)=-4<0$, следовательно, $x=0$ есть точка максимума, где

$\underset{x \to -0}{\lim }y=0$, ибо $\displaystyle \underset{x \to -0}{\lim }e^{\frac{1}{x}}=e^{-\infty }=0$.

При $x \to +\infty$ имеет место случай нахождения предела $0\cdot \infty$. Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
$\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }y=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=\frac{e^{+\infty }}{2}=+\infty$.
Следовательно, в точке $x=0$ разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например

заключаем, что $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ есть точка минимума: $\displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{e^{2}}{4}$.
Определяя знак $y'$ в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
$(-\infty ;0)$ и $\displaystyle \left ( 0;\frac{1}{2} \right )$, где $y'<0$, функция убывает, а в интервале $\displaystyle \left ( \frac{1}{2};+\infty \right )$, где