Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I, II. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как , и периодической, так как , с периодом . Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале ; в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.
IV. При . График функции пересекает ось в точке (0; 1) и не пересекает ось . При любом значении функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б)
— не существует.
При невертикальной асимптоты также не существует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI.
обращается в нуль в интервале в точках и , которые являются критическими. Других критических точек в интервале нет, так как существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку (по правилу IIб): , следовательно, есть точка максимума, где , поэтому есть точка минимума, где .
В интервале , где , функция убывает, а в интервале , где , функция возрастает.
VII. ; существует всюду и обращается в нуль в интервале при и . Эти точки оси могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку в соседних точках,
заключаем, что в интервале график функции имеет две точки перегиба: и .
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения. В интервалах и , где , график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервале , где , он обращен выпуклостью вниз.
VIII. Согласно полученным результатам исследования строим график функции в интервале , длина которого равна периоду данной функции, и затем повторяем его влево и вправо по периодическому закону (рис. 71).
Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки .
II. В точке функция имеет разрыв: она определена вблизи этой точки, но не определена в самой точке
, ибо .
При имеет место случай нахождения предела . Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
.
Следовательно, в точке разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например , и в какой-либо точке справа от нее, например , заключаем, что функция имеет положительные значения во всей своей области определения.
V. а) Вертикальной асимптотой графика функции является прямая , ибо при функция имеет бесконечный разрыв;
б) , так как .
При угловой коэффициент невертикальной асимптоты также не существует, т. е. таких асимптот график функции не имеет.
VI. в точке , которая является критической; не существует в точке но она не является критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку в этой точке:
заключаем, что есть точка минимума: .
Определяя знак в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
и , где , функция убывает, а в интервале , где , она возрастает.
VII. нигде не обращается в нуль и существует во всей области определения функции. Поэтому график функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак в какой-либо точке слева от точки разрыва, например , и в какой-либо точке справа от нее, например , заключаем, что график функции всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII. Ввиду недостаточности полученных данных находим дополнительно несколько точек графика, беря подходящие значения и определяя соответствующие значения из данного уравнения:
Наконец, строим график функции (рис. 72).