Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Пример 4. Исследовать функцию y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как y(-x)=y(x) , и периодической, так как \displaystyle y(x)=y\left ( x+\frac{\pi }{2} \right ) , с периодом \displaystyle \frac{\pi }{2} . Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале \displaystyle \left [0;\frac{\pi }{2} \right ) ; в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.


IV. При x=0,\, y=1;\: y\neq 0 . График функции пересекает ось Oy в точке (0; 1) и не пересекает ось Ox . При любом значении x функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б) \displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{x}=0;
\displaystyle b=\underset{x \to +\infty }{\lim}(y-kx)=\underset{x \to +\infty }{\lim}(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x) — не существует.
При x \to -\infty невертикальной асимптоты также не существует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. y'=4\sin ^{3}x\cos x-4\cos ^{3}x\sin x=4\sin x\cos x(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)=-2\sin 2x\cos 2x=-\sin 4x;
y' обращается в нуль в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) в точках x=0 и \displaystyle x=\frac{\pi }{4} , которые являются критическими. Других критических точек в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) нет, так как y' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку y'' (по правилу IIб): y''=-4\cos 4x;\: y''(0)=-4<0 , следовательно, x=0 есть точка максимума, где \displaystyle y_{max}=y(0)=1;\: y''\left ( \frac{\pi }{4} \right )=4>0 , поэтому \displaystyle x=\frac{\pi }{4} есть точка минимума, где \displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{\pi }{4} \right )=\frac{1}{2} .
В интервале \displaystyle \left ( 0;\frac{\pi }{4} \right ) , где y'<0 , функция убывает, а в интервале \displaystyle \left ( \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2} \right ) , где y'>0 , функция возрастает.
VII. y''=-4\cos 4x ; y'' существует всюду и обращается в нуль в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) при \displaystyle x=\frac{\pi }{8} и \displaystyle x=\frac{3\pi }{8} . Эти точки оси Ox могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку y'' в соседних точках,
Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61
заключаем, что в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) график функции имеет две точки перегиба: \displaystyle \left ( \frac{\pi }{8};\frac{3}{4} \right ) и \displaystyle \left ( \frac{3\pi }{8};\frac{3}{4} \right ) .
Ординаты этих точек вычислены из данного уравнения. В интервалах \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{8} \right ) и \displaystyle \left ( \frac{3\pi }{8};\frac{\pi }{2} \right ) , где y''<0 , график функции обращен выпуклостью вверх, а в интервале \displaystyle \left ( \frac{\pi }{8};\frac{3\pi }{8} \right ) , где y''>0 , он обращен выпуклостью вниз.
Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61
VIII. Согласно полученным результатам исследования строим график функции в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) , длина которого равна периоду данной функции, и затем повторяем его влево и вправо по периодическому закону (рис. 71).
Пример 5. Исследовать функцию \displaystyle y=x^{2}e^{\frac{1}{x}} и построить ее график.
Решение. I. Функция \displaystyle y=x^{2}e^{\frac{1}{x}} определена на всей числовой оси, кроме точки x=0 .
II. В точке x=0 функция имеет разрыв: она определена вблизи этой точки, но не определена в самой точке

\underset{x \to -0}{\lim }y=0 , ибо \displaystyle \underset{x \to -0}{\lim }e^{\frac{1}{x}}=e^{-\infty }=0 .

При x \to +\infty имеет место случай нахождения предела 0\cdot \infty . Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }y=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=\frac{e^{+\infty }}{2}=+\infty .
Следовательно, в точке x=0 разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например y(-2)>0 , и в какой-либо точке справа от нее, например y(2)>0 , заключаем, что функция имеет положительные значения во всей своей области определения.
V. а) Вертикальной асимптотой графика функции является прямая x=0 , ибо при x=0 функция имеет бесконечный разрыв;
б) \displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim }xe^{\frac{1}{x}}=+\infty , так как \displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim }e^{\frac{1}{x}}=1 .
При x \to -\infty угловой коэффициент невертикальной асимптоты также не существует, т. е. таких асимптот график функции не имеет.
VI. \displaystyle y'=e^{\frac{1}{x}}(2x-1);\: y'=0 в точке \displaystyle x=\frac{1}{2} , которая является критической; y' не существует в точке x=0 но она не является критической, так как это точка разрыва.
Исследуя критическую точку по знаку y'' в этой точке:

\displaystyle y''=\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}};\: y''\left ( \frac{1}{2} \right )>0,


заключаем, что \displaystyle x=\frac{1}{2} есть точка минимума: \displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{e^{2}}{4} .
Определяя знак y' в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
(-\infty ;0) и \displaystyle \left ( 0;\frac{1}{2} \right ) , где y'<0 , функция убывает, а в интервале \displaystyle \left ( \frac{1}{2};+\infty \right ) , где y'>0 , она возрастает.
VII. \displaystyle y''=\frac{2x^{2}-2x+1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}} нигде не обращается в нуль и существует во всей области определения функции. Поэтому график функции не имеет точек перегиба.
Определяя знак y'' в какой-либо точке слева от точки разрыва, например y''(-2)>0 , и в какой-либо точке справа от нее, например y''(3)>0 , заключаем, что график функции всюду обращен выпуклостью вниз.
Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61
VIII. Ввиду недостаточности полученных данных находим дополнительно несколько точек графика, беря подходящие значения x и определяя соответствующие значения y из данного уравнения:

\displaystyle \left ( -2;\frac{4}{\sqrt{e}} \right ),\: \left ( -1;\frac{1}{e} \right ),\: (1;e).


Наконец, строим график функции (рис. 72).

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: