Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Исследовать функцию и построить график (решение примера). Практикум по математическому анализу. Урок 61

Пример 4. Исследовать функцию y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x и построить ее график.
Решение. I, II. Функция y=\sin ^{4}x+\cos ^{4}x определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция является четной, так как y(-x)=y(x), и периодической, так как \displaystyle y(x)=y\left ( x+\frac{\pi }{2} \right ), с периодом \displaystyle \frac{\pi }{2}. Достаточно исследовать поведение этой функции и построить ее график в интервале \displaystyle \left [0;\frac{\pi }{2} \right ); в остальных точках числовой оси поведение функции и ее график будут повторяться.
IV. При x=0,\, y=1;\: y\neq 0. График функции пересекает ось Oy в точке (0; 1) и не пересекает ось Ox. При любом значении x функция имеет положительное значение.
V. а) График функции не имеет вертикальных асимптот, поскольку она непрерывна на всей числовой оси;
б) \displaystyle k=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{y}{x}=\underset{x \to +\infty }{\lim}\frac{\sin ^{4}x+\cos ^{4}x}{x}=0;
\displaystyle b=\underset{x \to +\infty }{\lim}(y-kx)=\underset{x \to +\infty }{\lim}(\sin ^{4}x+\cos ^{4}x) — не существует.
При x \to -\infty невертикальной асимптоты также не существует.
График функции не имеет никаких асимптот.
VI. y'=4\sin ^{3}x\cos x-4\cos ^{3}x\sin x=4\sin x\cos x(\sin ^{2}x-\cos ^{2}x)=-2\sin 2x\cos 2x=-\sin 4x;
y' обращается в нуль в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) в точках x=0 и \displaystyle x=\frac{\pi }{4}, которые являются критическими. Других критических точек в интервале \displaystyle \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ) нет, так как y' существует всюду.
Исследуем критические точки по знаку y'' (по правилу IIб): y''=-4\cos 4x;\: y''(0)=-4<0, следовательно, x=0 есть точка максимума, где

\underset{x \to -0}{\lim }y=0, ибо \displaystyle \underset{x \to -0}{\lim }e^{\frac{1}{x}}=e^{-\infty }=0.

При x \to +\infty имеет место случай нахождения предела 0\cdot \infty. Преобразуя функцию к виду дроби и дважды применяя правило Лопиталя, получим
\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }y=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{3}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{2}{x}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{-\frac{1}{x^{2}}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{2}{x^{2}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{e^{\frac{1}{x}}}{2}=\frac{e^{+\infty }}{2}=+\infty.
Следовательно, в точке x=0 разрыв функции бесконечный. В остальных точках числовой оси она непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. С осями координат график функции не пересекается; согласно п. II исследования начало координат является предельной точкой левой ветви графика.
Определяя знак функции в какой-либо точке слева от точки разрыва, например


заключаем, что \displaystyle x=\frac{1}{2} есть точка минимума: \displaystyle y_{min}=y\left ( \frac{1}{2} \right )=\frac{e^{2}}{4}.
Определяя знак y' в интервалах, границами которых являются точки разрыва и экстремума, заключаем: в интервалах
(-\infty ;0) и \displaystyle \left ( 0;\frac{1}{2} \right ), где y'<0, функция убывает, а в интервале \displaystyle \left ( \frac{1}{2};+\infty \right ), где

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × пять =