Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I. Функция определена на всей числовой оси, кроме точки x=0.
II. В точке функция имеет бесконечный разрыв: при и при . Во всех других точках числовой оси функция непрерывна.
III. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.
IV. График функции пересекает ось Ох в точке (1; 0) и не пересекает оси Оу.
Слева от точки разрыва, при ; между точкой разрыва и точкой пересечения с осью Ох, при ; справа от точки пересечения с осью Ох, при 1<x< .
V. а) Прямая х = 0 (ось ординат) является вертикальной асимптотой графика функции, ибо при х = 0 она имеет бесконечный разрыв;
б) ;
.
Следовательно, прямая y=-x есть невертикальная асимптота. При параметры k и b имеют те же значения, поэтому других асимптот нет.
VI. в точке , которая является критической; у' не существует в точке х = 0, но эта точка не является критической, так как она есть точка разрыва.
Исследуем критическую точку по знаку y'':
,
следовательно, есть точка минимума:
Слева от точки минимума при , функция убывает; между точкой минимума и точкой разрыва при функция возрастает; справа от точки разрыва при , y'<0 функция убывает.
VII. ; y'' не существует при х = 0, но это значение х не может быть абсциссой точки перегиба, так как оно является точкой разрыва. Следовательно, график функции не имеет точек перегиба.
Во всей области определения функции , поэтому ее график всюду обращен выпуклостью вниз.
VIII. Используя все полученные данные, строим график функции (рис. 69).
Пример 3. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. I, II. Функция определена и непрерывна на всей числовой оси.
III. Функция нечетная, ибо у(-х)=-у(х); ее график будет симметричен относительно начала координат.
IV. График функции пересекается с осями координат только в начале координат.
При х<0 значения у<0; при х>0 значения y>0.
V. а) Вертикальных асимптот график функции не имеет;
б)
Подставляя найденные значения k=b=0 в уравнение y=kx+b получим уравнение невертикальной асимптоты: y=0.
Тот же результат получится и при .
VI.
у' нигде не обращается в нуль; у' не существует в точках , которые являются критическими. Исследуя критические точки по знаку у' в соседних с ними точках слева и справа:
заключаем, что x=-1 есть точка минимума, где а х=1 есть точка максимума, где .
Слева от точки минимума в интервале и справа от точки максимума в интервале , где у'<0, функция убывает, а между точками минимума и максимума в интервале (—1; 1), где y'>0, функция возрастает.
VII.
y''=0 в точке х=0; у" не существует в точках х = ±1. Эти точки оси Ох могут быть абсциссами точек перегиба. Исследуя их по знаку у" в соседних с ними точках слева и справа:
заключаем, что х=0 есть абсцисса точки перегиба; у(0) = 0.
Слева от точки перегиба, в интервале , где у"<0, график функции обращен выпуклостью вверх, а справа от точки перегиба, в интервале , где у">0, график функции обращен выпуклостью вниз.
VIII. Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции (рис. 70).