Кривые второго порядка: окружность и эллипс (основные формулы)

1. Окружность.

Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной и той же точки этой плоскости (рис.1).
kiip012

Рис.1

Уравнение окружности с центром в точке (а;b) и радиусом r имеет вид:
kiip002
В частном случае, когда центр окружности лежит в начале координат, ее уравнением является
kiip010
Общее уравнение кривой второго порядка
kiip008
представляет окружность, если коэффициенты при квадратах координат равны между собой, А=С, и если отсутствует член с произведением координат ху, т.е. В=0.

2. Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.


kiip006
Каноническое уравнение эллипса имеет вид:
kiip004
Координаты фокусов эллипса F(с;0) и F₁(-с;0). Расстояние между фокусами эллипса равно 2с. Точки пересечения эллипса с осями координат А(а;0), А₁(-а;0), B(0;b), B₁(0;-b) — называются вершинами.
Отрезки AA₁=2a, BB₁=2b называются осями эллипса. Эксцентриситет эллипса
kiip014
Расстояния r и r₁ точки М(х;у) эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки и определяются формулами
kiip016
Две прямые PQ и P₁Q₁, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии a/e называются директрисами эллипса. Их уравнения:
kiip018
или
kiip020
Отношение расстояний любой точки эллипса до фокуса и соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса:
kiip022
Уравнение эллипса с осями, параллельными координатным осям, имеет вид
kiip024
где (x₀,y₀) — координаты центра эллипса.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: