Геометрические места точек. Решение задач

Задача № 1. Даны: точка D(4; 3) и окружность радиуса г= 1 с центром в точке С(2; 4).
Требуется найти такую точку М, чтобы длина касательной, проведенной из нее к окружности, была равна расстоянию точки М до точки D (рис.1).
Решение. Пусть искомая точка есть М (х, у) (рис.1).

Согласно условия MB=MD, где точка В есть точка касания прямой к окружности. Тогда треугольник МВС - прямоугольный, из которого находим, что MB
но МС²=(х-2)²+ (y-4)², а ВС=г=1.
Имеем

Расстояние точки М от точки D равно:

Имеем уравнение

Возводя в квадрат обе части уравнения, найдем

После преобразования получим:

Следовательно, точек, удовлетворяющих заданному условию, будет бесчисленное множество. Они образуют прямую, уравнение которой найдено.
Задача № 2. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Оу и от точки F(4; 0).

Решение. Пусть точка М (х,у) лежит на искомом геометрическом месте точек (hbc.2). Тогда согласно условию задачи MF = MN,

В силу равенства MF = MN имеем:

или

и окончательно

Искомое геометрическое место точек есть парабола, симметричная относительно оси Ох и с фокусом в точке (4; 0).
Покажем, что координаты точки, не принадлежащей нашему геометрическому месту, т. е. параболе, не удовлетворяют найденному уравнению

Предположим, что точка М (х, у) не принадлежит искомому геометрическому месту. Тогда либо MF>MN, либо MFMN. Тогда
После возведения в квадрат, раскрытия скобок и переноса всех членов влево, получим: у2—8х+16>0.
Следовательно, точка М (х, у) не удовлетворяет уравнению геометрического места

Для случая MFЗадача № 3. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки А(4;0) остается вдвое меньше расстояния от точки В(-8; 0).
Решение. Пусть точка М(х,у) лежит на искомой траектории. Тогда, согласно условию 2МA = МВ.
Расстояние
расстояние
В силу равенства 2МА=МВ, имеем:

Возводим правую и левую часть равенства в квадрат, получаем

После преобразования получим

Искомая траектория точки М—окружность (рис.3)