Геометрические места точек. Решение задач

Задача № 1. Даны: точка D(4; 3) и окружность радиуса г= 1 с центром в точке С(2; 4).
Требуется найти такую точку М, чтобы длина касательной, проведенной из нее к окружности, была равна расстоянию точки М до точки D (рис.1).
Решение. Пусть искомая точка есть М (х, у) (рис.1).
gmt106

Рис.1

Согласно условия MB=MD, где точка В есть точка касания прямой к окружности. Тогда треугольник МВС - прямоугольный, из которого находим, что MBgmt108


но МС²=(х-2)²+ (y-4)², а ВС=г=1.
Имеем
gmt110
Расстояние точки М от точки D равно:
gmt104
Имеем уравнение
gmt102
Возводя в квадрат обе части уравнения, найдем

(х-2)²+(у-4)²-1=(у-3)².

После преобразования получим:

2х-у-3 = 0.

Следовательно, точек, удовлетворяющих заданному условию, будет бесчисленное множество. Они образуют прямую, уравнение которой найдено.
Задача № 2. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от оси Оу и от точки F(4; 0).
gmt116

Рис.2

Решение. Пусть точка М (х,у) лежит на искомом геометрическом месте точек (hbc.2). Тогда согласно условию задачи MF = MN,
gmt114

В силу равенства MF = MN имеем:
gmt112
или

x²-8x+16+y²=x²,

и окончательно

у² = 8х - 16.

Искомое геометрическое место точек есть парабола, симметричная относительно оси Ох и с фокусом в точке (4; 0).
Покажем, что координаты точки, не принадлежащей нашему геометрическому месту, т. е. параболе, не удовлетворяют найденному уравнению

у² = 8х - 16.

Предположим, что точка М (х, у) не принадлежит искомому геометрическому месту. Тогда либо MF>MN, либо MFMN. Тогда
После возведения в квадрат, раскрытия скобок и переноса всех членов влево, получим: у2—8х+16>0.
Следовательно, точка М (х, у) не удовлетворяет уравнению геометрического места

у² = 8х - 16.

Для случая MFЗадача № 3. Определить траекторию точки М, которая движется так, что ее расстояние от точки А(4;0) остается вдвое меньше расстояния от точки В(-8; 0).
Решение. Пусть точка М(х,у) лежит на искомой траектории. Тогда, согласно условию 2МA = МВ.
Расстояние gmt120
расстояние gmt122
В силу равенства 2МА=МВ, имеем:
gmt124
Возводим правую и левую часть равенства в квадрат, получаем
gmt126
После преобразования получим

х² + y²- 16х = 0.

Искомая траектория точки М—окружность (рис.3)
gmt128

Рис.3
загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: