Метод координат в пространстве: основные формулы

1. Расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками  M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) и M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) определяется по формуле:

 d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\; \; \; (1)


В частном случае, расстояние точки M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) от начала координат равно:

 d=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\; \; \; (2)


koord006

Рис.1

2. Деление отрезка в данном отношении. Если точка  M(x,y,z) делит отрезок, определяемый точками  M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}) и M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}) в отношении \frac{M_{1}M}{MM_{2}}=\lambda , то ее координаты определяются по формулам:

 \large x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda },\; y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda },\;z=\frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda },\;\; \; (3)


В частности, координаты середины отрезка M_{1}M_{2} получаются при λ =1, т. е.

 \large x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2},\;\; \; (4)


3. Определение направлений в пространстве. Пусть ось l образует с положительными направлениями осей координат Ох, Оу и Oz соответственно углы α, β и γ (рис.2). Числа \cos \alpha ,\: \cos \beta и \cos\gamma называются направляющими косинусами оси l.
koord008

Рис.2

Между направляющими косинусами существует следующая основная зависимость:

 \large \cos ^{2}\alpha +cos ^{2}\beta +cos ^{2}\gamma =1,\; \; \; \; (5)


koord010

Рис.3

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого направления равна единице.
Пусть l_{1} и l_{2} суть две оси, проходящие через начало координат (рис.3). \cos \alpha _{1},\cos \beta _{1},\cos \gamma _{1} — направляющие косинусы l_{1} , \cos \alpha _{2},\cos \beta _{2},\cos \gamma _{2} — направляющие косинусы l_{2} . Тогда косинус угла φ между этими осями вычисляется по формуле

 \large \cos \phi =\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}\; \; \; \; (6)


Пусть отрезок АВ (рис.4) задан своим началом A\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right) и концом B\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right) .
koord012

Рис.4

Тогда проекции этого отрезка на оси координат выражаются через координаты точек А и В следующими формулами:

 A_{x}B_{x}=x_{2}-x_{1},


 A_{y}B_{y}=y_{2}-y_{1},


 A_{z}B_{z}=z_{2}-z_{1}.


Длина отрезка АВ вычисляется по формуле:

 \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1} \right)^{2}}.


Тогда направляющие косинусы отрезка АВ равны:

 \large \cos \alpha =\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},


 \large \cos \beta =\frac{y_{2}-y_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},\; \! \; \; (7)


 \large \cos \gamma =\frac{z_{2}-z_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}}.


В частном случае, если начало отрезка находится в начале координат, а конец — в точке  M(x,y,z) , то направляющие косинусы отрезка ОМ равны:

 \large \cos \alpha =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},


 \large \cos \beta =\frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}, \; \! \; \; (8)


 \large \cos \gamma =\frac{z_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}.


4. Нахождение центра тяжести пирамиды.
Пусть задана пирамида своими вершинами A(x_{1},y_{1},z_{1}) , B(x_{2},y_{2},z_{2}) , C(x_{3},y_{3},z_{3}) , D(x_{4},y_{4},z_{4}) (рис.5).
koord014

Рис.5

Центр тяжести пирамиды T\left(x,y,z \right) лежит на прямой, соединяющей любую из ее вершин с центром тяжести противолежащей грани. Находим координаты точки Е:

 \large x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3},


 \large y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3},


 \large z'=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}}{3}.


Искомая точка T\left(x,y,z \right) делит отрезок DE в отношении DT:TE = 3:1, т. е. λ =3.
Воспользуемся формулами (3) и получим:

 \large x'=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4},


 \large y'=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4},


 \large z'=\frac{z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}.



загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: