Метод координат в пространстве: основные формулы

1. Расстояние между двумя точками. Расстояние между двумя точками $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ определяется по формуле:

$d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}\; \; \; (1)$

В частном случае, расстояние точки

$M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ от начала координат равно:

$d=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\; \; \; (2)$

Рис.1

2. Деление отрезка в данном отношении. Если точка $M(x,y,z)$ делит отрезок, определяемый точками $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ в отношении $\frac{M_{1}M}{MM_{2}}=\lambda ,$ то ее координаты определяются по формулам:

$\large x=\frac{x_{1}+\lambda x_{2}}{1+\lambda },\; y=\frac{y_{1}+\lambda y_{2}}{1+\lambda },\;z=\frac{z_{1}+\lambda z_{2}}{1+\lambda },\;\; \; (3)$

В частности, координаты середины отрезка

$M_{1}M_{2}$ получаются при λ =1, т. е.

$\large x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\; y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2},\;z=\frac{z_{1}+z_{2}}{2},\;\; \; (4)$

3. Определение направлений в пространстве. Пусть ось l образует с положительными направлениями осей координат Ох, Оу и Oz соответственно углы α, β и γ (рис.2). Числа

$\cos \alpha ,\: \cos \beta$ и

$\cos\gamma$ называются направляющими косинусами оси l.

Рис.2

Между направляющими косинусами существует следующая основная зависимость:

$\large \cos ^{2}\alpha +cos ^{2}\beta +cos ^{2}\gamma =1,\; \; \; \; (5)$

Рис.3

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого направления равна единице.
Пусть $l_{1}$ и $l_{2}$ суть две оси, проходящие через начало координат (рис.3). $\cos \alpha _{1},\cos \beta _{1},\cos \gamma _{1}$ — направляющие косинусы $l_{1}$ , $\cos \alpha _{2},\cos \beta _{2},\cos \gamma _{2}$ — направляющие косинусы $l_{2}$ . Тогда косинус угла φ между этими осями вычисляется по формуле

$\large \cos \phi =\cos \alpha _{1}\cos \alpha _{2}+\cos \beta _{1}\cos \beta _{2}+\cos \gamma _{1}\cos \gamma _{2}\; \; \; \; (6)$

Пусть отрезок АВ (рис.4) задан своим началом

$A\left(x_{1},y_{1},z_{1} \right)$ и концом

$B\left(x_{2},y_{2},z_{2} \right)$ .

Рис.4

Тогда проекции этого отрезка на оси координат выражаются через координаты точек А и В следующими формулами:

$A_{x}B_{x}=x_{2}-x_{1},$

$A_{y}B_{y}=y_{2}-y_{1},$

$A_{z}B_{z}=z_{2}-z_{1}.$

Длина отрезка АВ вычисляется по формуле:

$\left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1} \right)^{2}}.$

Тогда направляющие косинусы отрезка АВ равны:

$\large \cos \alpha =\frac{x_{2}-x_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},$

$\large \cos \beta =\frac{y_{2}-y_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}},\; \! \; \; (7)$

$\large \cos \gamma =\frac{z_{2}-z_{1}}{\sqrt{\left(x_{2} -x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2} -y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2} -z_{1}\right)^{2}}}.$

В частном случае, если начало отрезка находится в начале координат, а конец — в точке

$M(x,y,z)$ , то направляющие косинусы отрезка ОМ равны:

$\large \cos \alpha =\frac{x_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}},$

$\large \cos \beta =\frac{y_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}, \; \! \; \; (8)$

$\large \cos \gamma =\frac{z_{1}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}}.$

4. Нахождение центра тяжести пирамиды.
Пусть задана пирамида своими вершинами

$A(x_{1},y_{1},z_{1})$ ,

$B(x_{2},y_{2},z_{2})$ ,

$C(x_{3},y_{3},z_{3})$ ,

$D(x_{4},y_{4},z_{4})$ (рис.5).

Рис.5

Центр тяжести пирамиды $T\left(x,y,z \right)$ лежит на прямой, соединяющей любую из ее вершин с центром тяжести противолежащей грани. Находим координаты точки Е: