Некоторые приложения определителей к аналитической геометрии

1. Площадь треугольника с вершинами в точках $(x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}),\:(x_{3},y_{3}).$

$S=\pm \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} & 1 \end{vmatrix}.$

2. Условие, при котором три точки $(x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}),\:(x_{3},y_{3}).$ лежат на одной прямой

$\begin{vmatrix} x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1\\ x_{3} &y_{3} & 1 \end{vmatrix}=0.$

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки $(x_{1},y_{1}),\: (x_{2},y_{2}).$

$\begin{vmatrix} x_{} &y_{} & 1\\ x_{1} &y_{1} & 1\\ x_{2} &y_{2} & 1 \end{vmatrix}=0$

4. Условие, при котором три прямые $A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,\; A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,\ A_{3}x+B_{3}y+C_{3}=0\;$ пересекаются в одной точке:

$\begin{vmatrix} A_{1} &B_{1} & C_{1}\\ A_{2} &B_{2} & C_{2}\\ A_{3} &B_{3} & C_{3} \end{vmatrix}=0.$

Пример 1. Найти площадь четырехугольника с вершинами в точках А (1; 2), В (—2; 1), С (—3; —4), D (5; —7).

Рис.1

Решение. Площадь четырехугольника равна сумме площадей треугольников ABC и ACD.
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} 1 &2 & 1\\ -2 &1 & 1\\ -3 &-4 & 1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(1+8-6+3+4+4)=7;$
$S_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot \begin{vmatrix} 1 &2 & 1\\ -3 &-4 & 1\\ 5 &-5 & 1 \end{vmatrix}=\frac{1}{2}(-4+15+10+20+5+6)=26;$
$S_{ABCD}=7+26=33.$
Ответ: 23 кв.ед.
Пример 2. На прямой, проходящей через точку M(-3; 8) и N(5; —1), найти точку, абсцисса которой равнялась бы 1.
Решение. Воспользуемся условием того, что три точки лежат на одной прямой.