Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67

Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67

Отыскание функции F(x) по известному ее дифференциалу dF(x)=f(x)dx [или по известной её производной F'(x)=f(x)], т. е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x).
Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым: если F(x) есть первообразная от f(x), т. е. если F'(x)=f(x), то и F(x)+C, где C — произвольная постоянная, есть также первообразная от f(x), поскольку (F(x)+C)'=F'(x)=f(x).
Первообразная и неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования. Урок 67
Общее выражение F(x)+C совокупности всех первообразных от функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается знаком \int:

\int f(x)dx=F(x)+C, если d\left ( F(x)+C \right)= f(x)dx.

Геометрически, в системе координат xOy, графики всех первообразных функций от данной функции f(x) представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра C, которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Oy (рис. 86).
Свойства неопределенного интеграла.
I. \displaystyle \frac{d}{dx}\left [ \int f(x)dx \right ]=f(x) или \displaystyle d \int f(x)dx=f(x)dx.
II. \displaystyle \int F'(x)dx=F(x)+C или \displaystyle \int dF(x)=F(x)+C.
III. \displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx, т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
IV. \displaystyle \int \left [ f_{1}(x)+f_{2}(x)-f_{3}(x) \right ]dx=\int f_{1}(x)dx+\int f_{2}(x)dx-\int f_{3}(x)dx, т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых.

Основные формулы интегрирования:

1. \displaystyle \int u^{a}du=\frac{u^{a+1}}{a+1}+C,\: a\neq -1.
2. \displaystyle \int u^{-1}du=\int \frac{du}{u}=\int \frac{u'}{u}dx=\ln \left | u \right |+C.
3. \displaystyle \int a^{u}du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C;\: \int e^{u}du=e^{u}+C.
4. \displaystyle \int \sin u\, du=-\cos u+C.
5. \displaystyle \int \cos u\, du=\sin u+C.
6. \displaystyle \int \frac{du}{\cos ^{2}u}=tg \, u+C.
7. \displaystyle \int \frac{du}{\sin ^{2}u}=-ctg \, u+C.
8. \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}arctg\, \frac{u}{a}+C.
9. \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}\ln \left | \frac{u-a}{u+a} \right |+C.
10. \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}}=\textrm{arcsin}\, \frac{u}{a}+C.
11. \displaystyle \int \frac{du}{\sqrt{u^{2}+a}}=\ln \left | u+\sqrt{u^{2}+a} \right |+C.
В этих формулах a — постоянная, u — независимая переменная или любая (дифференцируемая) функция от независимой переменной. Например:

Интеграл \displaystyle I_{1}=\int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac{1}{2}}dx представляет формулу 1 при \displaystyle u=x,\, a=\frac{1}{2}. Согласно этой формуле, \displaystyle I_{1}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{x^{3}}+C.
Интеграл \displaystyle I_{2}=\int 3^{x}dx представляет формулу 3 при \displaystyle u=x,\, a=3. Согласно этой формуле, \displaystyle I_{2}=\frac{3^{x}}{\ln 3}+C.
Интеграл \displaystyle I_{3}=\int \frac{dt}{t^{2}+3} представляет формулу 8 при $\displaystyle u=t,\, a=\sqrt{3}. По этой формуле \displaystyle I_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}\textrm{arctg}\, \frac{t}{\sqrt{3}}+C.
Интеграл \displaystyle I_{4}=\int \frac{d\varphi }{\sqrt{\varphi ^{2}-5}} представляет формулу 11 при \displaystyle u=\varphi ,\, a=-5. По этой формуле \displaystyle I_{4}=\ln \left | \varphi +\sqrt{\varphi ^{2}-5} \right |+C.
Интеграл \displaystyle I_{5}=\int \frac{2x}{x^{2}+7}dx=\int \frac{(x^{2}+7)'}{x^{2}+7}dx=\int \frac{d(x^{2}+7)}{x^{2}+7} представляет формулу 2 при u=x^{2}+7, так как (x^{2}+7)'=2x. По этой формуле I_{5}=\ln (x^{2}+7)+C. Здесь опущен знак абсолютной величины, ибо всегда

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

один × четыре =