Отыскание функции по известному ее дифференциалу [или по известной её производной ], т. е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции .
Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым: если есть первообразная от , т. е. если , то и , где — произвольная постоянная, есть также первообразная от , поскольку .
Общее выражение совокупности всех первообразных от функции называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается знаком :
если
Геометрически, в системе координат , графики всех первообразных функций от данной функции представляют семейство кривых, зависящее от одного параметра , которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси (рис. 86).
Свойства неопределенного интеграла.
I. или
II. или
III. т. е. постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
IV. т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов от всех слагаемых.
Основные формулы интегрирования:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
В этих формулах — постоянная, — независимая переменная или любая (дифференцируемая) функция от независимой переменной. Например:
Интеграл представляет формулу 1 при . Согласно этой формуле, .
Интеграл представляет формулу 3 при . Согласно этой формуле,
Интеграл представляет формулу 8 при . По этой формуле .
Интеграл представляет формулу 11 при . По этой формуле .
Интеграл представляет формулу 2 при , так как . По этой формуле . Здесь опущен знак абсолютной величины, ибо всегда .
Вообще, в формулах 2, 9, 11 следует писать знак абсолютной величины только в тех случаях, когда логарифмируемое выражение может иметь отрицательные значения.
Интеграл представляет формулу 4 при . Поэтому .
Интеграл , так как . По формуле 3 при получим: .
Интеграл , так как . По формуле 9 при , получим .
Справедливость формул интегрирования, а также и каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, ибо, как было упомянуто, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.
В простейшем случае, когда заданный интеграл представляет одну из формул интегрирования, задача интегрирования сводится к простому применению этой формулы.
Во всех других случаях задача интегрирования состоит в том, чтобы путем подходящих преобразований привести данный интеграл к одной или нескольким формулам интегрирования, если это возможно.