Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 68

Пример. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
1) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}}$;
2) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}$;
3) $\displaystyle \int 3^{t}5^{t}dt$;
4) $\displaystyle \int \sqrt{y+1}dy$;
5) $\displaystyle \int \frac{dx}{2x^{2}-6}$.
Решение: 1) $\displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}}=\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}+C=C-\frac{1}{2x^{2}}$ по формуле 1, при $u=x,\: a=-3$.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции и убеждаемся, что он равен подынтегральному выражению:

$$\displaystyle d\left ( C-\frac{1}{2x^{2}} \right )=-\frac{1}{2}(x^{-2})'dx=x^{-3}dx=\frac{dx}{x^{3}}$$

2) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}+C$, по формуле 10, при $u=x,\: a=\sqrt{2}$.
Проверка.

$$\displaystyle d\left ( \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}+C \right )=\left ( \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}} \right )'dx=\frac{\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right )'}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right )^{2}}}dx=\frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}.$$

3) $\displaystyle \int 3^{t}5^{t}dt=\int 15^{t}dt=\frac{15^{t}}{\ln 15}+C$, по формуле 3, при $u=t,\: a=15$.
Проверка.

$$\displaystyle d\left (\frac{15^{t}}{\ln 15}+C \right )=\frac{1}{\ln 15}\cdot 15^{t}\ln 15dt=15^{t}dt.$$

4) $\displaystyle \int \sqrt{y+1}dy=\int (y+1)^{\frac{1}{2}}d(y+1)=\frac{2}{3}(y+1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{(y+1)^{3}}+C$, по формуле 1, при $\displaystyle u=y+1,\: a=\frac{1}{2}$,так как $d(y+1)=dy$.

Проверка.

$$\displaystyle d\left ( \frac{2}{3}\sqrt{(y+1)^{3}}+C\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(y+1)^{\frac{1}{2}}dy=\sqrt{y+1}dy.$$

5) $\displaystyle \int \frac{dx}{2x^{2}-6}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}-3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left | \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right |+C$ согласно свойству III и по формуле 9, при $u=x,\: a=\sqrt{3}$.

Проверка.

$$\displaystyle d\left ( \frac{1}{4\sqrt{3}}\ln \left | \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right |+C \right )=\frac{1}{4\sqrt{3}}(\ln \left | x-\sqrt{3} \right |-\ln \left | x+\sqrt{3} \right |)'dx=\frac{1}{4\sqrt{3}}\left ( \frac{1}{x-\sqrt{3}}-\frac{1}{x+\sqrt{3}} \right )dx=\frac{dx}{2(x^{2}-3)}.$$

Здесь для нахождения производных $(\ln \left | x-\sqrt{3} \right |)'$ и $(\ln \left | x+\sqrt{3} \right |)'$ применена формула $\displaystyle (\ln \left | u \right |)'=\frac{u'}{u}$.