Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 68

Основные формулы интегрирования. Примеры. Практикум по математическому анализу. Урок 68

Пример. Найти следующие интегралы и проверить результаты дифференцированием:
1) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}};
2) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}};
3) \displaystyle \int 3^{t}5^{t}dt;
4) \displaystyle \int \sqrt{y+1}dy;
5) \displaystyle \int \frac{dx}{2x^{2}-6}.
Решение: 1) \displaystyle \int \frac{dx}{x^{3}}=\int x^{-3}dx=\frac{x^{-2}}{-2}+C=C-\frac{1}{2x^{2}} по формуле 1, при u=x,\: a=-3.
Проверка. Находим дифференциал полученной функции и убеждаемся, что он равен подынтегральному выражению:

\displaystyle d\left ( C-\frac{1}{2x^{2}} \right )=-\frac{1}{2}(x^{-2})'dx=x^{-3}dx=\frac{dx}{x^{3}}

2) \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}=\arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}+C, по формуле 10, при u=x,\: a=\sqrt{2}.
Проверка.

\displaystyle d\left ( \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}+C \right )=\left ( \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}} \right )'dx=\frac{\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right )'}{\sqrt{1-\left ( \frac{x}{\sqrt{2}} \right )^{2}}}dx=\frac{dx}{\sqrt{2-x^{2}}}.

3) \displaystyle \int 3^{t}5^{t}dt=\int 15^{t}dt=\frac{15^{t}}{\ln 15}+C, по формуле 3, при u=t,\: a=15.
Проверка.

\displaystyle d\left (\frac{15^{t}}{\ln 15}+C \right )=\frac{1}{\ln 15}\cdot 15^{t}\ln 15dt=15^{t}dt.

4) \displaystyle \int \sqrt{y+1}dy=\int (y+1)^{\frac{1}{2}}d(y+1)=\frac{2}{3}(y+1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{(y+1)^{3}}+C, по формуле 1, при \displaystyle u=y+1,\: a=\frac{1}{2},так как d(y+1)=dy.

Проверка.

\displaystyle d\left ( \frac{2}{3}\sqrt{(y+1)^{3}}+C\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(y+1)^{\frac{1}{2}}dy=\sqrt{y+1}dy.

5) \displaystyle \int \frac{dx}{2x^{2}-6}=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x^{2}-3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{3}}\ln \left | \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right |+C согласно свойству III и по формуле 9, при u=x,\: a=\sqrt{3}.

Проверка.

\displaystyle d\left ( \frac{1}{4\sqrt{3}}\ln \left | \frac{x-\sqrt{3}}{x+\sqrt{3}} \right |+C \right )=\frac{1}{4\sqrt{3}}(\ln \left | x-\sqrt{3} \right |-\ln \left | x+\sqrt{3} \right |)'dx=\frac{1}{4\sqrt{3}}\left ( \frac{1}{x-\sqrt{3}}-\frac{1}{x+\sqrt{3}} \right )dx=\frac{dx}{2(x^{2}-3)}.

Здесь для нахождения производных (\ln \left | x-\sqrt{3} \right |)' и (\ln \left | x+\sqrt{3} \right |)' применена формула \displaystyle (\ln \left | u \right |)'=\frac{u'}{u}.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пять × четыре =