Пример 1. Найти следующие интегралы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Решение.
1) согласно свойству III и по формуле I, при .
2) согласно свойству III и по формуле 10, при .
3) Умножаем и делим интеграл на 3 и вносим множитель 3 под знак интеграла (согласно свойству III), затем под знак дифференциала:
по формуле 5, при .
4) Умножим и разделим интеграл на —2 и внесем делитель —2 под знаки интеграла и дифференциала:
по формуле 3, при
5) Умножая и деля на и замечая, что , получим
по формуле 4, при .
6) Умножая и деля на 5, получим:
по формуле 2, при
Этот интеграл можно найти иначе:
по формуле 2, при
Полученные результаты оба правильные, в чем можно убедиться путем их дифференцирования.
Пример 2. Найти следующие интегралы:
1)
2)
Решение. 1) Умножаем и делим на —2, вносим множитель —2 под знак интеграла, согласно свойству III, и заменяя через , что одно и то же, получим:
по формуле 1, при
2) Заменяя через получим:
по формуле 2, при .
Полезно запомнить словесное выражение формулы 2: интеграл от дроби, числитель которой является дифференциалом знаменателя, равен логарифму абсолютной величины знаменателя.