Интегрирование методом разложения подынтегральной функции на слагаемые. Практикум по математическому анализу. Урок 70

Если подынтегральная функция представляет алгебраическую сумму нескольких слагаемых, то, согласно свойству IV, можно интегрировать каждое слагаемое отдельно.
Пользуясь этим, можно многие интегралы привести к сумме более простых интегралов.
Пример 1. Найти интегралы:
1) $\displaystyle \int (3x^{2}-2x+5)dx;$
2) $\displaystyle \int \frac{2x^{2}+x-1}{x^{3}}dx;$
3) $\displaystyle \int (1+e^{x})^{2}dx;$
4) $\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^{2}-5}dx;$
5) $\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx;$
6) $\displaystyle \int \textrm{tg}^{2}\varphi d\varphi.$
Решение. 1) Интегрируя каждое слагаемое отдельно, получим:
$\displaystyle \int (3x^{2}-2x+5)dx=\int 3x^{2}dx-\int 2xdx+\int 5dx=3\int x^{2}dx-2\int xdx+5\int dx=$
$\displaystyle =3\cdot \frac{x^{3}}{3}-2\cdot \frac{x^{2}}{2}+5x+C=x^{3}-x^{2}+5x+C,$
по формуле I.
2) Разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, деля числитель почленно на знаменатель. Затем интегрируем каждое слагаемое отдельно:
$\displaystyle \int \frac{2x^{2}+x-1}{x^{3}}dx=2\int \frac{dx}{x}+\int x^{-2}dx-\int x^{-3}dx=2\ln \left | x \right |-\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^{2}}+C,$
по формулам 2, 1.
3) Возводим в квадрат и, интегрируя каждое слагаемое, получим
$\displaystyle \int (1+e^{x})^{2}dx=\int (1+2e^{x}+e^{2x})dx=\int dx+2\int e^{x}dx+\frac{1}{2}\int e^{2x}d(2x)=x+2e^{x}+\frac{1}{2}e^{2x}+C.$
4) Разложим подынтегральную дробь на две слагаемых дроби, затем интегрируем по формулам 2 и 9:
$\displaystyle \int \frac{2x+3}{x^{2}-5}dx=\int \frac{2xdx}{x^{2}-5}+3\int \frac{dx}{x^{2}-5}=\ln \left | x^{2}-5 \right |+\frac{3}{2\sqrt{5}}\ln \left | \frac{x-\sqrt{5}}{x+\sqrt{5}} \right |+C.$
5) Деля числитель на знаменатель, исключим из неправильной подынтегральной дроби целую часть, затем интегрируем:
$\displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \left ( 1-\frac{1}{x^{2}+1} \right )dx=\int dx-\int \frac{dx}{x^{2}+1}=x-\textrm{arctg}\, x+C.$
6) Пользуясь тригонометрической формулой $\displaystyle 1+\textrm{tg}^{2}\alpha =\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }$, имеем:
$\displaystyle \int \textrm{tg}^{2}\varphi d\varphi=\int \left ( \frac{1}{\cos ^{2}\varphi }-1 \right )d\varphi =\int \frac{1}{\cos ^{2}\varphi } d\varphi -\int d\varphi=\textrm{tg}\, \varphi -\varphi +C.$