Зная график какой-либо функции, можно построить графики многих других более сложных функций чисто геометрическим путем, без составления таблицы числовых значений переменных.
Так, исходя из графика функции , можно посредством его сдвига или деформации построить графики для функций вида , , , ,
График функции получается из исходного графика путем сдвига его вдоль оси абсцисс на масштабных единиц этой оси, вправо при и влево при (рис.1). График функции получается из исходного графика путем сдвига его вдоль оси ординат на масштабных единиц этой оси, вверх при и вниз при (рис.1).
Рис.1
График функции получается из исходного путем умножения ординат его точек на коэффициент . При этом, если , то ординаты всех точек исходного графика увеличиваются по абсолютной величине в раз, если , то они уменьшаются по абсолютной величине в раз, если , то изменяются еще и их знаки. График функции при будет симметричен графику функции относительно оси абсцисс (рис.2). График функции получается из исходного графика путем деления абсцисс его точек на коэффициент . При этом, если , то абсциссы всех точек исходного графика уменьшаются по абсолютной величине в раз; если ,то они увеличиваются по абсолютной величине в раз;
Рис.2 Рис.3
если , то изменяются еще и их знаки. График функции , при , симметричен графику функции относительно оси ординат (рис.3).
Выполняя указанные сдвиги и деформации графика функции в последовательном порядке, одно вслед за другим, можно строить графики и для функций более сложного вида:
(1)
Пример 1. Построить по точкам график функции на отрезке [0; 9] и затем, исходя из этого графика, путем последовательных деформаций его и сдвигов, построить график функции .
Решение. Составим таблицу соответственных значений переменных и для функции и построим ее график (рис.4).
Рис.4
Обозначим функцию символом . Тогда данная функция преобразуется к виду
Сопоставляя ее с выражением (1), находим следующие значения параметров:
Далее, согласно общим указаниям, строим искомый график следующим путем:
1) увеличивая в 2 раза ординаты точек графика функции и сохраняя неизменными их абсциссы, строим график функции ;
2) уменьшая в Зраза абсциссы точек графика функции и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции ;
3) меняя знаки у абсцисс точек графика функции и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции (графики функций и симметричны относительно оси ординат);
4) перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 1,5 единицы масштаба этой оси влево, строим график функции ;
4) перенося точки графика функции в направлении оси ординат на 1,2 единицы масштаба этой оси вниз, строим искомый график функции у-=2 .
Пример 2. Исходя из графика функции , путем его деформаций и сдвигов построить график функции
Решение. Заменяя в выражении (1) символ произвольной функции символом тригонометрической функции , получим
(2)
Преобразуем данную функцию:
и, сопоставляя ее с выражением (2), определим следующие значения параметров:
Построение искомого графика выполняем, руководствуясь общими указаниями:
1) увеличивая в 3 раза ординаты точек графика функции по абсолютной величине, меняя их знаки и сохраняя неизменными абсциссы, строим график функции (рис.5);
2) уменьшая в 2 раза абсциссы точек графика функции и сохраняя неизменными их ординаты, строим график функции ;
Рис.5
3) перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 4 единицы масштаба этой оси влево, строим искомый график функции .
Пользуясь периодичностью данной функции, полученный график можно продолжить в обе стороны.