Правило Лопиталя и его применение. Практикум по математическому анализу. Урок 48

В задачах на вычисление пределов функций (уроки №14-19) были разъяснены элементарные способы нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела функции в указанных особых случаях является следующее правило Лопиталя: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных (если последний предел существует или равен бесконечности).
а) Случаи нахождения предела:
1) $\displaystyle \frac{0}{0}$ — когда функция представляет отношение двух бесконечно малых величин;
2) $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ — когда функция представляет отношение двух бесконечно больших величин.
Согласно правилу Лопиталя в этих случаях можно заменять отношение величин отношением их производных, т. е. если $\varphi _{1}(x)$ и $\varphi _{2}(x)$ одновременно стремятся к нулю или к бесконечности при $x \to a$ или $x \to \infty$, то

$$\displaystyle \lim \frac{\varphi _{1}(x)}{\varphi _{2}(x)}=\lim \frac{\varphi' _{1}(x)}{\varphi' _{2}(x)}.$$

Если последний предел существует или равен бесконечности, то он будет равен искомому пределу. Если же отношение производных также будет представлять случай $\displaystyle \frac{0}{0}$ или $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$, то можно снова и снова применять правило Лопиталя, если это полезно, до получения результата.
Пример 1. Найти пределы:
1) $\displaystyle \underset{x \to 2}{\lim }\frac{x^{4}-16}{x^{3}+5x^{2}-6x-16};$
2) $\displaystyle \underset{x \to a}{\lim }\frac{x^{m}-a^{m}}{x^{n}-a^{n}};$
3) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1}{\sin x};$
4) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }\frac{1-\cos ax}{1-\cos bx};$
5) $\displaystyle \underset{x \to +\infty}{\lim }\frac{e^{kx}}{x^{n}},$ где