Правило Лопиталя и его применение (продолжение). Практикум по математическому анализу. Урок 49

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
3) 0\cdot \infty — когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую;
4) \infty -\infty — когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } путем преобразования функции к виду дроби.


Пример 2. Найти пределы: 1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x; 2) \displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x; 3) \displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi ); 4) \displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right ); 5) \displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right ).
Решение. Установив, что имеет место случай 0\cdot \infty или \infty -\infty, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:
1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{x}{\textrm{tg}\, 2x}=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{\cos ^{2}2x}{2}=\frac{1}{2};
2) \displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}}=-3\underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}=0;
3) \displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi )=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin \varphi -1}{\cos \varphi }=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\cos \varphi }{-\sin \varphi }=0;
4) \displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right )=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x-1-x\ln x}{(x-1)\ln x}=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{-\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x\ln x+x-1}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{1+\ln x}{2+\ln x}=-\frac{1}{2}.
Здесь правило Лопиталя применено дважды;
5) \displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right )=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{t-\sin t}{t\sin t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{\sin t+t\cos t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{\sin t}{2\cos t-t\sin t}=0.
Здесь правило Лопиталя применено дважды.


загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • Одноклассники
  • Яндекс.Закладки
  • Blogger
  • RSS
  • Блог Я.ру
  • Сто закладок
  • Блог Li.ру
  • Yahoo! Bookmarks
  • БобрДобр
  • MySpace
  • Reddit
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • LinkedIn
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • del.icio.us
  • Digg
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • 豆瓣
  • 豆瓣九点

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×