Правило Лопиталя и его применение (продолжение). Практикум по математическому анализу. Урок 49

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
3) $0\cdot \infty$ — когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую;
4) $\infty -\infty$ — когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям $\displaystyle \frac{0}{0}$ или $\displaystyle \frac{\infty }{\infty }$ путем преобразования функции к виду дроби.
Пример 2. Найти пределы: 1) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x$; 2) $\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x$; 3) $\displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi )$; 4) $\displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right )$; 5) $\displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right )$.
Решение. Установив, что имеет место случай $0\cdot \infty$ или $\infty -\infty$, преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:
1) $\displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{x}{\textrm{tg}\, 2x}=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{\cos ^{2}2x}{2}=\frac{1}{2};$
2) $\displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}}=-3\underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}=0;$
3) $\displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi )=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin \varphi -1}{\cos \varphi }=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\cos \varphi }{-\sin \varphi }=0;$
4) $\displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right )=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x-1-x\ln x}{(x-1)\ln x}=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{-\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x\ln x+x-1}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{1+\ln x}{2+\ln x}=-\frac{1}{2}.$
Здесь правило Лопиталя применено дважды;
5) $\displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right )=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{t-\sin t}{t\sin t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{\sin t+t\cos t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{\sin t}{2\cos t-t\sin t}=0.$
Здесь правило Лопиталя применено дважды.