Правило Лопиталя и его применение (продолжение). Практикум по математическому анализу. Урок 49

Рассмотрим еще несколько случаев нахождения предела:
3) 0\cdot \infty — когда функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую;
4) \infty -\infty — когда функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин.
Эти случаи нахождения предела функции сводятся к случаям \displaystyle \frac{0}{0} или \displaystyle \frac{\infty }{\infty } путем преобразования функции к виду дроби.


Пример 2. Найти пределы: 1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x ; 2) \displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x ; 3) \displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi ) ; 4) \displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right ) ; 5) \displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right ) .
Решение. Установив, что имеет место случай 0\cdot \infty или \infty -\infty , преобразуем функцию к виду дроби, числитель и знаменатель которой одновременно стремятся к нулю или к бесконечности, затем применяем правило Лопиталя:
1) \displaystyle \underset{x \to 0}{\lim }x\, \textrm{ctg}\, 2x=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{x}{\textrm{tg}\, 2x}=\underset{x \to 0}{\lim }\frac{\cos ^{2}2x}{2}=\frac{1}{2};
2) \displaystyle \underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}\ln x=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt[3]{x}}}=\underset{x \to +0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{4}}}}=-3\underset{x \to +0}{\lim }\sqrt[3]{x}=0;
3) \displaystyle \underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }(\textrm{tg}\, \varphi -\sec \varphi )=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin \varphi -1}{\cos \varphi }=\underset{\varphi \to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\cos \varphi }{-\sin \varphi }=0;
4) \displaystyle \underset{x \to 1}{\lim }\left ( \frac{1}{\ln x}-\frac{x}{x-1} \right )=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x-1-x\ln x}{(x-1)\ln x}=\underset{x \to 1}{\lim }\frac{-\ln x}{\ln x+\frac{x-1}{x}}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{x\ln x}{x\ln x+x-1}=-\underset{x \to 1}{\lim }\frac{1+\ln x}{2+\ln x}=-\frac{1}{2}.
Здесь правило Лопиталя применено дважды;
5) \displaystyle \underset{t \to 0}{\lim }\left ( \frac{1}{\sin t}-\frac{1}{t} \right )=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{t-\sin t}{t\sin t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{1-\cos t}{\sin t+t\cos t}=\underset{t \to 0}{\lim }\frac{\sin t}{2\cos t-t\sin t}=0.
Здесь правило Лопиталя применено дважды.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: