Решение задач на классическое определение вероятности. Часть 1

Задача № 1. В программе дня компьютера, написанной в Турбо Паскале, использована функция Random(x), генерирующая целые случайные числа от 1 до x. Какова вероятность того, что при выполнении этой функции появится число, делящееся на 5, если x = 100?
Решение. Обозначим событие: А - при значении х = 100 появится число, делящееся на 5. Найдем вероятность события А, применив классическое определение вероятности.
При значении x = 100 может появиться любое из 100 имеющихся целых чисел, следовательно, общее число исходов испытания n = 100.
Для того, чтобы найти число исходов испытания, благоприятствующих событию А, воспользуемся признаком делимости чисел на 5. На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрами О или 5. Среди 100 целых чисел есть 20 таких чисел; следовательно, число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно m = 20.
Вероятность события А равна $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{20}{100}=0,2.$


Задача № 2. Готовясь к докладу, студент выписал из книги цитату, но, забыв номер страницы, на которой она находится, написал номер наудачу. Какова вероятность того, что студент записал нужный номер, если он помнит, что номер выражается двузначным числом с различными цифрами?
Решение. Обозначим событие: А - студент записал нужный номер.
Найдем вероятность события А, применив классическое определение вероятности.
Общее число n исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 10 цифр, т.е. число элементов k=10; в каждое соединение входит по 2 цифры, т.е. s = 2; порядок цифр (элементов) существенен при образовании двузначных чисел, следовательно, надо найти число размещений из 10 элементов по 2. По формуле вычисления числа размещений, получим: $A_{10}^{2}=10\cdot 9=90.$ Из общего числа полученных размещений следует исключить те 9 paзмещений, которые начинаются с цифры О, а именно: 01,02,...,09. Таким образом, $n=A_{10}^{2}-9=90-9=81.$
Число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно m=1, так как цитата находится на одной определенной странице.
Вероятность события А равна Р(А) = 1/81.


Задача № 3. Ребенок играет с буквами разрезной азбуки. Какова вероятностъ того, что, разложив в ряд буквы К, И, Р, Д, А, Н, 3, П, он составит слово ПРАЗДНИК?
Решение. Обозначим событие: А - ребенок составит слово ПРАЗДНИК.
Найдем внятность события А, применив классическое определение вероятности.
Общее число n исходов испытания получим, воспользовавшись формулами теории соединений. Всего имеется 8 элементов - 8 букв; в образовании различных соединений участвуют все 8 элементов; различные соединения отличаются друг от друга только порядком элементов; следовательно, эти соединения являются перестановками из 8-ми элементов. По формуле числа перестановок из k элементов, получим: $n=P_{8}=8!=40320.$
Число исходов испытания, благоприятствующих событию А, равно m = 1, так как требуется составить слово с буквами, расставленными в определенном порядке, и эти буквы различны.
Вероятность события А равна Р(А) = 1/40320.