Упрощение уравнений кривых второго порядка. Решение задач. Часть 1

Упрощение уравнений кривых второго порядка. Решение задач. Часть 1

Задача № 1. Привести уравнение кривой

5x^{2}+9y^{2}-30x+18y+9=0

к простейшему виду и построить эту кривую. Решение. Группируем члены уравнения, содержащие одноименные координаты:

(5x^{2}-30x)+(9y^{2}+18y)+9=0

или

5(x^{2}-6x)+9(y^{2}+2y)+9=0

Дополняем члены в скобках до полных квадратов:

5(x^{2}-6x+9-9)+9(y^{2}+2y+1-1)+9=0

или

5(x-3)^{2}+9(y+1)^{2}-45=0\; \; (a)

Обозначаем x_{1}=x-3,\: y_{1}=y+1. Произведенная замена представляет собой параллельное пересечение осей координат. Сравнивая последние соотношения с формулами

\large \begin{matrix} x_{1}=x-x_{0},\\ y_{1}=y-y_{0}, \end{matrix}\; \; \;

находим координаты нового начала: x_{0}=3,\: y_{0}=-1, т. е. новое начало координат O₁ помещается в точке (3; —1).

pkv018
Рис.1

Уравнение (а) в новой системе осей координат принимает вид:

5x_{1}^{2}+9y_{1}^{2}=45.

Делим обе части этого уравнения на 45, получаем каноническое уравнение данной кривой

\frac{x_{1}^{2}}{9}+\frac{y_{1}^{2}}{5}=1.

Таким образом, заданное уравнение определяет эллипс с полуосями a=3,\: b=\sqrt{5} и центром, находящимся в первоначальной системе координат, в точке O₁(3; -1) (рис.1).

Задача № 2. Упростить уравнение кривой

2x^{2}+4x-y-1=0

и схематически построить эту кривую. Решение. Группируем члены с одноименными ко¬ординатами: (2x^{2}+4x)-y-1=0 или 2(x^{2}+2x)-y-1=0. Дополняем член в скобках до полного квадрата

2(x^{2}+2x+1-1)-y-1=0,

или

2(x+1)^{2}-(y+3)=0.\; \; \; (a)

Обозначаем: x_{1}=x+1,\; y_{1}=y+3. Сравнивая последние соотношения с формулами

\large \begin{matrix} x_{1}=x-x_{0},\\ y_{1}=y-y_{0}, \end{matrix}\; \; \;

находим координаты нового начала: x_{0}=-1,\; y_{0}=-3, т. е. новое начало координат помещается в точке O₁(-1;-3). pkv026

Рис.2

Уравнение (а) в новой системе координат принимает вид:

2x_{1}^{2}-y_{1}=0,

или

x_{1}^{2}=\frac{1}{2}y_{1}.

Заданное уравнение определяет параболу с вершиной в точке O₁(-1; -3), осью симметрии O_{1}y_{1}, параллельной оси ординат и параметром p=\frac{1}{4}(рис. 2).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

пятнадцать − 2 =