Упрощение уравнений кривых второго порядка. Решение задач. Часть 1

Задача № 1. Привести уравнение кривой

к простейшему виду и построить эту кривую. Решение. Группируем члены уравнения, содержащие одноименные координаты:

или

Дополняем члены в скобках до полных квадратов:

или

Обозначаем $x_{1}=x-3,\: y_{1}=y+1$. Произведенная замена представляет собой параллельное пересечение осей координат. Сравнивая последние соотношения с формулами

находим координаты нового начала: $x_{0}=3,\: y_{0}=-1,$ т. е. новое начало координат O₁ помещается в точке (3; —1).

Уравнение (а) в новой системе осей координат принимает вид:

Делим обе части этого уравнения на 45, получаем каноническое уравнение данной кривой

Таким образом, заданное уравнение определяет эллипс с полуосями $a=3,\: b=\sqrt{5}$ и центром, находящимся в первоначальной системе координат, в точке O₁(3; -1) (рис.1).

Задача № 2. Упростить уравнение кривой

и схематически построить эту кривую. Решение. Группируем члены с одноименными ко¬ординатами: $(2x^{2}+4x)-y-1=0$ или $2(x^{2}+2x)-y-1=0$. Дополняем член в скобках до полного квадрата

или

Обозначаем: $x_{1}=x+1,\; y_{1}=y+3.$ Сравнивая последние соотношения с формулами

находим координаты нового начала: $x_{0}=-1,\; y_{0}=-3,$ т. е. новое начало координат помещается в точке O₁(-1;-3).

Уравнение (а) в новой системе координат принимает вид:

или

Заданное уравнение определяет параболу с вершиной в точке O₁(-1; -3), осью симметрии $O_{1}y_{1}$, параллельной оси ординат и параметром $p=\frac{1}{4}$(рис. 2).