Преобразование декартовых координат. Упрощение уравнений кривых второго порядка

Общая теория кривых второго порядка

Основной задачей преобразования координат является упрощение уравнения кривой.
Уравнение одной и той же кривой может иметь различный вид в зависимости от того, как будет расположена система осей координат, к которой отнесена кривая. Удачным выбором расположения осей координат можно добиться простейшего вида уравнения кривой.
Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\; \; \; (1)

Задача упрощения этого уравнения состоит в том, чтобы в преобразованном уравнении исчезли: член с произведением текущих координат и члены первого измерения.
По упрощенному уравнению легко установить тип кривой и схематически построить эту кривую.
Если в уравнении (1) отсутствует член с произведением координат ху, т. е. уравнение имеет вид:

Ax^{2}+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\;\; \; \! (2)

то оно преобразуется к каноническому виду параллельным переносом осей координат по формулам

\large \begin{matrix} x=x_{1}+x_{0},\\ y=y_{1}+y_{0} \end{matrix}\; \; \; (3)

или

\large \begin{matrix} x_{1}=x-x_{0},\\ y_{1}=y-y_{0}, \end{matrix}\; \; \; (4)

где \large x_{0},\: y_{0} — координаты нового начала О₁ и \large x_{1},\: y_{1} — новые координаты.
Цель переноса — уничтожение членов первого измерения. Упрощение выполняется методом выделения полных квадратов. Если в уравнении (1) отсутствуют члены первого измерения, т. е. уравнение имеет вид:

Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+F=0,\;\; \; \! (5)

то оно преобразуется к каноническому виду поворотом осей координат по формулам:

\large \begin{matrix} x=x_{1}\cos \alpha -y_{1}\sin \alpha ,\\ y=x_{1}\sin \alpha +y_{1}\cos \alpha, \end{matrix}\; \; \; (6)

где \large x_{1},\: y_{1} — новые координаты, α — угол поворота.
Цель этого поворота — уничтожение члена с произведением ко¬ординат в уравнении кривой.
В общем случае, когда уравнение кривой второго порядка содержит член с произведением координат и члены первого измерения, упрощение следует начинать с поворота осей, без изменения начала координат.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: