Возрастание и убывание функции. Практикум по математическому анализу. Урок 51

При изучении поведения функции в зависимости от изменения независимой переменной обычно предполагается, что во всей области определения функции независимая переменная изменяется монотонно возрастая, т. е. что каждое следующее ее значение больше предыдущего.
Если при этом последовательные значения функции также возрастают, то и функция называется возрастающей, а если они убывают, то и функция называется убывающей.
Некоторые функции во всей своей области определения изменяются монотонно — только возрастают или только убывают (например $2^{x},\: \textrm{arcctg}\, x$ ).
Многие функции изменяются не монотонно. В одних интервалах изменения независимой переменной они возрастают, а в других интервалах убывают (например, $\sin x,\cos x$ ).
Возрастание и убывание функции $y=f(x)$ характеризуется знаком ее производной $y'$ : если в некотором интервале $y'>0$ , то функция возрастает, а если $y'<0$ , то функция убывает в этом интервале.
Пример 1. Определить интервалы возрастания и убывания следующих функций:
1) $p=\ln (1-x^{2})$ ; 2) $z=x(1+2\sqrt{x})$ ; 3) $y=\ln \left | x \right |$ .
Решение. 1) Производная — $\displaystyle y'=-\frac{2x}{1-x^{2}}$ положительна при
$-1<x<1$ и $x>1$ и отрицательна при $0<x<1$ и при $x<-1$ . Учитывая, что область определения функции $p$ есть интервал $-1<x<1$ , заключаем: в интервале $(-1;0)$ функция $p$ возрастает, а в интервале $(0;1)$ она убывает.
2) Функция $z$ определена в полуоткрытом интервале $0\leq x<+\infty$ ; ее производная $z'=1+3\sqrt{x}>0$ — во всем этом интервале. Поэтому функция $z$ монотонная, она возрастает во всей своей области определения.

3) Функция $y$ определена на всей числовой оси, исключая точку $x=0$ ; ее производная $\displaystyle y'=(\ln \left | x \right |)'=\frac{\left | x \right |'}{\left | x \right |}=\pm \frac{1}{\left | x \right |}=\frac{1}{x};\: y'>0$ при $x>0;\: y'<0$ при $x<0$ . Отсюда следует, что функция $y$ убывает в интервале $(-\infty;0)$ и возрастает в интервале $(0;+\infty)$ . График этой четной функции приведен на рис. 43.