Максимум и минимум (экстремум) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 52

Значение функции f(x) в точке x_{0} называется максимумом (минимумом), если оно является наибольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках слева и справа от x_{0} .
Функция может иметь экстремум (максимум или минимум) только в тех точках, которые лежат внутри области определения функции и где ее производная равна нулю или не существует. (Это необходимые условия экстремума, но недостаточные; они могут выполняться и в точках, где нет экстремума, например в точках x_{2},x_{5},x_{7} рис. 44.) Такие точки называются критическими. В соответствующих точках графика функции касательная параллельна оси абсцисс ( y'=0 ), или оси ординат ( y'=\infty ) или нет определенной касательной (например, как в угловой точке).


Максимум и минимум (экстремум) функции. Практикум по математическому анализу. Урок 52
На графике функции (рис. 44) отчетливо видно, что точками экстремума являются все точки, где функция меняет свое направление и непрерывна.
Точки x_{1} и x_{4} , при переходе через которые аргумента x возрастание функции сменяется на убывание, являются точками максимума, а точки x_{3} и при переходе через которые аргумента x убывание функции сменяется на возрастание, являются точками минимума.
Поскольку поведение функции характеризуется знаком ее производной, то функция будет иметь экстремум в тех точках, где ее производная меняет свой знак, а сама функция непрерывна. Это достаточные условия экстремума (если они выполнены в какой-либо точке, то она обязательно будет точкой экстремума).
Отсюда вытекает следующее правило исследования функции на экстремум.
Чтобы найти точки экстремума функции y=f(x) , в которых она непрерывна, нужно:
I. Найти производную y' и критические точки, в которых y'=0 или не существует, а сама функция непрерывна, и которые лежат внутри области определения функции.
IIа. Определить знак y' слева и справа от каждой критической точки.
Если при переходе аргумента x через критическую точку x_{0} :
1) y' меняет знак с + на —, то x_{0} есть точка максимума;
2) y' меняет знак с — на +, то x_{0} есть точка минимума;
3) y' не меняет знака, то в точке x_{0} нет экстремума.
Иногда проще исследовать критические точки, где y'=0 , по знаку второй производной,— вместо правила IIа можно пользоваться следующим правилом:
IIб. Найти вторую производную y'' и определить ее знак в каждой критической точке.
Если в критической точке x_{0} , где y'=0 :
1) y''>0 , то x_{0} есть точка минимума;
2) y''<0 , то x_{0} есть точка максимума;
3) y''=0 , то вопрос о наличии экстремума в точке x_{0} остается открытым. Такую критическую точку, как и всякую другую, можно исследовать по правилу IIа.
Далее следует найти экстремумы функции, т. е. вычислить значения функции в найденных точках экстремума.
При исследовании на экстремум некоторых типов функций возможны существенные упрощения. Например, если функция представляет дробь с постоянным числителем или корень с целым положительным показателем.
Характер упрощений, возможных при исследовании на экстремум указанных функций, разъясняется в решении задачи №2.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: