Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53

Примеры. Исследовать на максимум и минимум функции:
1) y=(1-x^{2})^{3}; 2) u=x\sqrt{1-x^{2}}; 3) v=2\sqrt[3]{x^{5}}-5\sqrt[3]{x^{2}}+1; 4) p=x^{3}-12x; 5) q=x^{2}+\sqrt{x^{5}}; 6) r=\sin ^{2}x.
Решение. 1) Согласно правилу исследования функции на экстремум:
I. Находим производную: y'=3(1-x^{2})^{2}(-2x)=-6x(1-x^{2})^{2} и критические точки. Полагая y'=0, получим x_{1}=0,\: x_{2}=1,\: x_{3}=-1. Функция y определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому точки x_{1},\: x_{2} и x_{1} являются критическими.


Других критических точек нет, так как производная y' существует всюду.
II. Исследуем критические точки, определяя знак y' слева и справа от каждой этой точки (по правилу IIа). Для сокращения вычислений и для наглядности это исследование удобно записать в виде следующей таблицы:
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
В первой строке помещены все критические точки в порядке расположения их на числовой оси; между ними вставлены промежуточные точки, расположенные слева и справа от критических точек. Во второй строке помещены знаки производной в указанных промежуточных точках, т. е. знаки \displaystyle y'(-2),y'\left ( -\frac{1}{2} \right ),y'\left ( \frac{1}{2} \right ) и y'(2).
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
В третьей строке — заключение о поведении функции. Исследуемая функция имеет одну точку экстремума — точку максимума x=0, где \displaystyle y_{max}=y(0)=1. До этой точки в интервале (-\infty;0) функция неизменно возрастает, а после нее в интервале (0;+\infty) она неизменно убывает (рис. 45).
2) I. Ищем критические точки. Производная \displaystyle u'=\frac{1-2x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} обращается в нуль при \displaystyle x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} и не существует (разрывна) при x_{3,4}=\pm 1. Однако критическими точками являются только точки x_{1} и x_{2}: они лежат внутри области определения функции u, которая представляет отрезок [ — 1; 1], и в них эта функция непрерывна. Точки x_{3} и x_{4} не являются критическими, так как они лежат не внутри области определения функции u, а на ее границах.
II. Исследуем критические точки по знаку производной u' в соседних с ними точках. Составим следующую таблицу:
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
Согласно этой таблице функция и имеет две точки экстремума: точку минимума \displaystyle x=-\frac{1}{\sqrt{2}}, где \displaystyle u_{min}=u\left ( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right )=-\frac{1}{2} и точку максимума \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}},где \displaystyle u_{max}=u\left ( \frac{1}{\sqrt{2}} \right )=\frac{1}{2} (рис. 46).
3) I. Находим производную

\displaystyle v'=2\cdot \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-5\cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{10}{3}\cdot \frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}


и критические точки: v'=0 при x=1; v' не существует (равна \infty) при x=0. Функция v определена и непрерывна на всей числовой оси. Поэтому обе найденные точки являются критическими.
II. Исследуем критические точки по знаку производной v' в соседних с ними точках. Составим таблицу:
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
Из таблицы следует, что функция v имеет две точки экстремума: точку максимума x=0, где v_{max}=v(0)=1, и точку минимума x=1, где v_{min}=v(1)=-2 (рис. 47).
4) I. Найдем критические точки. Производная \displaystyle p'=3x^{2}-12 равна нулю в точках x=\pm 2. Эти точки являются критическими, так как функция p определена и непрерывна на всей числовой оси. Производная p' существует всюду. Поэтому других критических точек функция p не имеет.
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной p'' в самих этих точках (по правилу II б): p''=6x;\: p''(-2)=-12<0, следовательно, критическая точка x=-2 есть точка максимума, где p_{max}=p(-2)=16;\: p''(2)=12>0, поэтому критическая точка x=2 есть точка минимума, где p_{min}=p(2)=-16 (рис. 48).
5) I. Ищем производную \displaystyle q'=\frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}+2x и критические точки: q' обращается в нуль в точке x=0. В этой точке функция q непрерывна, но она не лежит внутри области определения функции q, которая представляет интервал 0\leq x<+\infty. Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
Поэтому точка x=0 не является критической; q' не обращается в нуль в других точках и существует во всей области определения функции. Поэтому функция q, как не имеющая ни одной критической точки, не имеет экстремума. Во всей своей области определения она неизменно (монотонно) возрастает, ибо q'\geq 0 во всей этой области (рис. 49).
Если не учесть, что точка x=0 не лежит внутри области определения функции q, то, применяя правило IIб, \displaystyle q''=\frac{15}{4}x^{\frac{1}{2}}+2,\: q''(0)=2>0, приходим к ошибочному заключению, что в этой точке функция q имеет минимум.
6) I. Находим критические точки: r'=2\sin x\cos x=\sin 2x;\: r'=0 при \displaystyle x_{k}=\frac{\pi k}{2},\: k=0,\pm 1,\pm 2,....
Все точки x_{k} являются критическими, так как функция r определена и непрерывна на всей числовой оси; r' существует всюду, поэтому других критических точек нет.
Исследование функции на экстремум (примеры). Практикум по математическому анализу. Урок 53
II. Исследуем критические точки по знаку второй производной в самих этих точках: r''=2\cos 2x;\: r''(x_{k})=2\cos k\pi. При четном k, r''(x_{k})=2>0, точки x_{k} являются точками минимума, где r_{min}=0; при нечетном k, r''(x_{k})=-2<0, точки x_{k} являются точками максимума, где r_{max}=1 (рис. 50). Здесь оказалось, что у функции r максимумы и минимумы строго чередуются. То же будет и у любой непрерывной функции, имеющей несколько экстремумов.

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×