Наибольшее и наименьшее значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 54

Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция $\sin x$ имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции $\textrm{tg}\, x$ и $x^{3}$ не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция $-x^{2}$ имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция $1+\sqrt{\left | x \right |}$ имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (рис. 52).

Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция $f(x)$ непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция $f(x)$ непрерывна на некотором отрезке $\left [ a,b \right ]$ , то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции $f(x)$ на отрезке $\left [ a,b \right ]$ , где она непрерывна:
I. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка $\left [ a,b \right ]$ , и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
II. Вычислить значения функций на концах отрезка, т. е. $f(a)$ и $f(b)$ .
III. Сравнить полученные значения функции: самое большее из них будет наибольшим значением, а самое меньшее — наименьшим значением функции на всем данном отрезке.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:
1) $\displaystyle u=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ на отрезке $\left [ -4,4 \right ]$ ;
2) $\displaystyle p=x^{2}\ln x$ на отрезке $\left [ 1,e \right ]$ ;
3) $r=2\sin x+\sin 2x$ на отрезке $\left [ 0;\frac{3}{2}\pi \right ]$ ;
4) $\displaystyle y=\textrm{arctg}\, x^{2}$ .
Решение. Согласно практическому правилу:
1) I. Найдем критические точки функции $u$ , лежащие внутри отрезка $\left [ -4,4 \right ]$ , и вычислим ее значения в этих точках: $\displaystyle u'=3x^{2}-6x-9;\: u'=0$ в точках $x=-1$ и $x=3$ . Эти точки лежат внутри отрезка $\left [ -4,4 \right ]$ и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная $u'$ существует всюду. Значения функций и в критических точках: $u(-1)=40;\, u(3)=8$ .
II. Вычислим значения функции на концах отрезка $\left [ -4,4 \right ]$ : $u(-4)=-41;\, u(4)=15$ .
III. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции $u$ на отрезке $\left [ -4,4 \right ]$ равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке $x=-1$ , а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка $x=-4$ (рис.53).

2) I. Ищем критические точки: $p'=x(1+2\ln x);\: p'=0$ в точках $\displaystyle x_{1}=0$ и $\displaystyle x_{2}=e^{-\frac{1}{2}}$ . Точка $\displaystyle x_{1}$ лежит вне области определения данной функции $\displaystyle 0< x< +\infty$ ; точка $\displaystyle x_{2}$ лежит вне заданного отрезка $\left [ 1;e \right ]$ . Производная $p'$ существует во всем интервале определения функции $p$ . Поэтому внутри заданного отрезка нет критических точек.
II. Вычислим значения функции $p$ на концах отрезка: $p(1)=0;\: p(e)=e^{2}$ .
III. Поскольку внутри отрезка $\left [ 1;e \right ]$ нет критических точек, то функция изменяется на этом отрезке монотонно и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке достигаются на концах отрезка: $p_{nm}=p(1)=0;\: p_{nb}=p(e)=e^{2}$ (рис. 54).

3) I. Найдем критические точки: $\displaystyle r'=2\cos x+2\cos 2x=2\cdot 2\cos \frac{3}{2}x\cos \frac{1}{2}x;\: r'=0$ при $\displaystyle \cos \frac{3}{2}x=0$ и $\displaystyle \cos \frac{x}{2}=0$ ; корни первого уравнения $\displaystyle x_{k}=\frac{\pi }{3}(2k+1)$ , корни второго уравнения $\displaystyle x_{k}=\pi (2k+1)$ , где $k=0,\pm 1,\pm 2,...$ .
Из них внутри заданного отрезка $\displaystyle \left [ 0;\frac{3}{2}\pi \right ]$ лежат критические точки $\displaystyle x_{I}=\frac{\pi }{3}$ и $x_{II}=\pi$ . Производная $r'$ существует всюду, поэтому других критических точек функция $r$ не имеет. Значения функции в найденных внутренних критических точках $x_{I}$ и $x_{II}$ :
$\displaystyle r\left ( \frac{3\pi }{3} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2};\: r(\pi )=0$ .
II. Вычислим значения функции на концах отрезка: $\displaystyle r(0)=0;\: r\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-2$ .
III. Сравнение вычисленных значений функции во внутренних критических точках и на концах отрезка показывает, что ее наибольшее значение на этом отрезке $\displaystyle r_{nb}=r\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ,
наименьшее значение $\displaystyle r_{nm}=r\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-2$ .
4) Здесь изменение аргумента $x$ не ограничено каким-либо отрезком, а функция определена на всей числовой оси. Поэтому следует рассмотреть все значения функции, принимаемые ею при изменении $x$ от $-\infty$ до $+\infty$ .
I. Найдем критические точки: $\displaystyle y'=\frac{2x}{1+x^{4}};\: y'=0$ в точке $x=0$ .
Эта точка является критической, так как функция всюду определена и непрерывна. Других критических точек нет, так как производная $y'$ существует всюду.

II. Исследуем критическую точку $x=0$ по знаку первой производной слева и справа от этой точки (см. табл.). Это исследование показывает, что точка $x=0$ есть точка минимума, где $y_{min}=0$ .

III. Основываясь на указанном выше свойстве 1 непрерывных функций, заключаем: функция $y$ , как имеющая единственный экстремум — минимум и не имеющая точек разрыва, имеет наименьшее значение, совпадающее с ее минимумом,