Наибольшее и наименьшее значения функции. Практикум по математическому анализу. Урок 54

Наибольшим значением функции называется самое большее, а наименьшим значением — самое меньшее из всех ее значений.
Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем. Например, во всей своей области определения функция \sin x имеет наибольшее значение, равное единице, и наименьшее значение, равное минус единице; функции \textrm{tg}\, x и x^{3} не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значений; функция -x^{2} имеет наибольшее значение, равное нулю, но не имеет наименьшего значения; функция 1+\sqrt{\left | x \right |} имеет наименьшее значение, равное единице, но не имеет наибольшего значения (рис. 52).



Нахождение наибольшего и наименьшего значений непрерывных функций основывается на следующих свойствах этих функций:
1) Если в некотором интервале (конечном или бесконечном) функция f(x) непрерывна и имеет только один экстремум и если это максимум (минимум), то он будет наибольшим (наименьшим) значением функции в этом интервале.
2) Если функция f(x) непрерывна на некотором отрезке \left [ a,b \right ], то она обязательно имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения. Эти значения достигаются ею или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на границах этого отрезка.
Отсюда вытекает практическое правило для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции f(x) на отрезке \left [ a,b \right ], где она непрерывна:
I. Найти критические точки, лежащие внутри отрезка \left [ a,b \right ], и вычислить значения функции в этих точках (не вдаваясь в исследование, будет ли в них экстремум функции и какого вида).
II. Вычислить значения функций на концах отрезка, т. е. f(a) и f(b).
III. Сравнить полученные значения функции: самое большее из них будет наибольшим значением, а самое меньшее — наименьшим значением функции на всем данном отрезке.
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:
1) \displaystyle u=x^{3}-3x^{2}-9x+35 на отрезке \left [ -4,4 \right ];
2) \displaystyle p=x^{2}\ln x на отрезке \left [ 1,e \right ];
3) r=2\sin x+\sin 2x на отрезке \left [ 0;\frac{3}{2}\pi \right ];
4) \displaystyle y=\textrm{arctg}\, x^{2}.
Решение. Согласно практическому правилу:
1) I. Найдем критические точки функции u, лежащие внутри отрезка \left [ -4,4 \right ], и вычислим ее значения в этих точках: \displaystyle u'=3x^{2}-6x-9;\: u'=0 в точках x=-1 и x=3. Эти точки лежат внутри отрезка \left [ -4,4 \right ] и являются критическими. Других критических точек нет, так как производная u' существует всюду. Значения функций и в критических точках: u(-1)=40;\, u(3)=8.
II. Вычислим значения функции на концах отрезка \left [ -4,4 \right ]: u(-4)=-41;\, u(4)=15.
III. Сравнивая все вычисленные значения функции во внутренних критических точках и на концах отрезка, заключаем: наибольшее значение функции u на отрезке \left [ -4,4 \right ] равно 40 и достигается ею во внутренней критической точке x=-1, а ее наименьшее значение равно -41 и достигается на левой границе отрезка x=-4 (рис.53).

2) I. Ищем критические точки: p'=x(1+2\ln x);\: p'=0 в точках \displaystyle x_{1}=0 и \displaystyle x_{2}=e^{-\frac{1}{2}}. Точка \displaystyle x_{1} лежит вне области определения данной функции 0<x<+\infty; точка \displaystyle x_{2} лежит вне заданного отрезка \left [ 1;e \right ]. Производная p' существует во всем интервале определения функции p. Поэтому внутри заданного отрезка нет критических точек.
II. Вычислим значения функции p на концах отрезка: p(1)=0;\: p(e)=e^{2}.
III. Поскольку внутри отрезка \left [ 1;e \right ] нет критических точек, то функция изменяется на этом отрезке монотонно и ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке достигаются на концах отрезка: p_{nm}=p(1)=0;\: p_{nb}=p(e)=e^{2} (рис. 54).

3) I. Найдем критические точки: \displaystyle r'=2\cos x+2\cos 2x=2\cdot 2\cos \frac{3}{2}x\cos \frac{1}{2}x;\: r'=0 при \displaystyle \cos \frac{3}{2}x=0 и \displaystyle \cos \frac{x}{2}=0; корни первого уравнения \displaystyle x_{k}=\frac{\pi }{3}(2k+1), корни второго уравнения \displaystyle x_{k}=\pi (2k+1), где k=0,\pm 1,\pm 2,... .
Из них внутри заданного отрезка \displaystyle \left [ 0;\frac{3}{2}\pi \right ] лежат критические точки \displaystyle x_{I}=\frac{\pi }{3} и x_{II}=\pi. Производная r' существует всюду, поэтому других критических точек функция r не имеет. Значения функции в найденных внутренних критических точках x_{I} и x_{II}:
\displaystyle r\left ( \frac{3\pi }{3} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2};\: r(\pi )=0.
II. Вычислим значения функции на концах отрезка: \displaystyle r(0)=0;\: r\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-2.
III. Сравнение вычисленных значений функции во внутренних критических точках и на концах отрезка показывает, что ее наибольшее значение на этом отрезке \displaystyle r_{nb}=r\left ( \frac{\pi }{3} \right )=\frac{3\sqrt{3}}{2},
наименьшее значение \displaystyle r_{nm}=r\left ( \frac{3\pi }{2} \right )=-2.
4) Здесь изменение аргумента x не ограничено каким-либо отрезком, а функция определена на всей числовой оси. Поэтому следует рассмотреть все значения функции, принимаемые ею при изменении x от -\infty до +\infty.
I. Найдем критические точки: \displaystyle y'=\frac{2x}{1+x^{4}};\: y'=0 в точке x=0.
Эта точка является критической, так как функция всюду определена и непрерывна. Других критических точек нет, так как производная y' существует всюду.

II. Исследуем критическую точку x=0 по знаку первой производной слева и справа от этой точки (см. табл.). Это исследование показывает, что точка x=0 есть точка минимума, где y_{min}=0.

III. Основываясь на указанном выше свойстве 1 непрерывных функций, заключаем: функция y, как имеющая единственный экстремум — минимум и не имеющая точек разрыва, имеет наименьшее значение, совпадающее с ее минимумом,

y_{nm}=y_{min}=0

,
но не имеет наибольшего значения, хотя она не растет неограниченно. При x \to \pm \infty она асимптотически приближается к значению — (рис. 55).


загрузка...
Поделиться ссылкой:
  • Добавить ВКонтакте заметку об этой странице
  • Мой Мир
  • Facebook
  • Twitter
  • LiveJournal
  • Одноклассники
  • Яндекс.Закладки
  • Blogger
  • RSS
  • Блог Я.ру
  • Сто закладок
  • Блог Li.ру
  • Yahoo! Bookmarks
  • БобрДобр
  • MySpace
  • Reddit
  • FriendFeed
  • В закладки Google
  • Google Buzz
  • LinkedIn
  • StumbleUpon
  • Technorati
  • del.icio.us
  • Digg
  • MisterWong.RU
  • Memori.ru
  • МоёМесто.ru
  • 豆瓣
  • 豆瓣九点

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам:

×