Графическое решение неравенств второй степени

Графическое решение неравенств второй степени
Как известно, графиком квадратичной функций $y=ax^{2}+bx+c$ является парабола с ветвями, направленными вверх, если $a>0$ , и вниз, если $a<0$ (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если $a>0$ и выпуклостью вверх, если $a<0$ ). При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ имеет два различных корня), парабола имеет вершину на оси Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ имеет один корень, так называемый двукратный корень), парабола не пересекает ось Ox (т. е. уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ не имеет действительных корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, которые представлены на рис.1—2 ( $D=b^{2}-4ac$ — дискриминант квадратного трехчлена $ax^{2}+bx+c$ ).

Рис. 1 а) Рис. 1 б)

Рис. 1 в) Рис. 2 а)

Рис. 2 б) Рис. 2 в)

Используя графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства. График параболы можно строить чисто схематически, не находя координаты вершин (если $D\neq 0$ ) и точку пересечения с осью $Oy$ .
Пример 1. Решить неравенство $x^{2}>0$ .

Рис.3

Решение. Рассмотрим функцию $y=x^{2}$ . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (парабола направлена выпуклостью вниз). Парабола пересекает ось $Ox$ в точке с абсциссой $x=0$ , так как $x^{2}=0$ <=> $x=0$ . Изобразив схематически параболу $y=x^{2}$ (рис. 3), найдем, что $y>0$ при $x\in \left(-\propto ;0 \right) \bigcup \left(0; \right)$ . На чертеже искомое множество заштриховано.
Ответ: $x\in \left(-\propto ;0 \right) \bigcup \left(0; \right)$ .
Пример 2. Решить неравенство $x^{2}-x-6\leq 0$ .

Рис.4

Решение. Рассмотрим функцию $y=x^{2}-x-6$ . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т. к. $a=1>0$ . Решим уравнение $x^{2}-x-6=0$ . Корни его $x_{1}=-2,\; x_{2}=3$ . Значит данная парабола $y=x^{2}-x-6$ пересекает ось $Ox$ в точках с абсциссами $x_{1}=-2,\; x_{2}=3$ . Изобразив схематически параболу $y=x^{2}-x-6$ (рис.4), находим, что $y\leq 0$ , если $x\in \left[-2;3 \right]$ . Искомое множество заштриховано на рис.4.
Ответ: $x\in \left[-2;3 \right]$ .
Пример 3. Решить неравенство $-2x^{2}+3x+2>0$ .

Рис.5

Решение. Рассмотрим функцию $y=-2x^{2}+3x+2$ . Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (парабола направлена выпуклостью вверх), т. к. $a=-2<0$ .

$-2x^{2}+3x+2=0\Leftrightarrow x_{1}=-\frac{1}{2},\; x_{2}=2$

. Изобразив схематически параболу

$y=-2x^{2}+3x+2$ , находим, что

$y<0$ в каждом из бесконечных промежутков:

$\left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right),\; \left(2;+\propto \right)$ . Искомое множество заштриховано на рис.5.

Ответ:

$x\in \left(-\propto ;-\frac{1}{2} \right)\bigcup \left(2;+\propto \right)$ .
Пример 4. Решить неравенство

$x^{2}+2x+3\geq 0$ .

Рис.6

Решение. Поскольку для квадратного трехчлена $x^{2}+2x+3$ дискриминант $D=2^{2}-4\cdot 1\cdot 3=-8<0$ , то парабола $y=x^{2}+2x+3$ не пересекает ось $Ox$ . Изобразив параболу $y=x^{2}+2x+3$ схематически (рис.6), находим, что $x^{2}+2x+3>0$ при любом значении $x\in R$ . Искомое множество заштриховано на рис.6.
Ответ: $x\in \left( -\propto ;\propto \right)$ .