Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства
При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений: возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, уединение радикала, введение новых переменных и т. д. При решении можно придерживаться, например, такого плана:
а) найти область определения исходного неравенства;
б) решить исходное неравенство, руководствуясь утверждениями о равносильности неравенств;


в) из полученных решений отобрать те, которые принадлежат области определения исходного неравенства. Утверждения о равносильности неравенств имеют следующий вид. Если обе части неравенства на множестве D принимают только неотрицательные значения, то возведя обе части неравенства в любую четную степень и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное исходному на множестве D . Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень с сохранением знака неравенства всегда является равносильным (эквивалентным) преобразованием неравенства.
Пример 1. Решить неравенство \sqrt{x}>2.
Решение.
Область определения левой части неравенства, т. е. D(\sqrt{x}):\; x\geq 0 . Отсюда получаем, что исходное неравенство эквивалентно следующей системе неравенств:

\sqrt{x}>2\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0,\\ \left ( \sqrt{x} \right )^{2}>2^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0,\\ x>4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>4.

Ответ: x\in (4;\infty ).
Пример 2. Решить неравенство \sqrt{2x+1}\leq 3.

Решение.

\sqrt{2x+1}\leq 3\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+1\geq 0,\\ (\sqrt{2x+1})^{2}\leq 3^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2},\\ 2x+1\leq 9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq -\frac{1}{2},\\ x\leq 4 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq 4.


Ответ: x\in \left [ -\frac{1}{2};4 \right ].
Пример 3. Решить неравенство \sqrt{x-2}\geq -1.
Решение.
Так как \sqrt{x-2}\geq 0 , то исходное неравенство выполняется для всех x из области определения функции f(x)=\sqrt{x-2}.
D(f):\; x-2\geq 0 \Leftrightarrow x\geq 2.
Ответ: x\in \left [ 2;\infty \right ).
Пример 4. Решить неравенство \sqrt{x+6}<-2.
Решение.
Поскольку \sqrt{x+6}\geq 0 , то исходное неравенство не выполняется ни при каких значениях x .
Ответ: x \in \oslash .

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: