Неравенства с одной переменной (основные понятия)

Неравенством с одной переменной называется неравенство, содержащее одну независимую переменную. Неравенства с переменными называют иногда функциональными неравенствами.
Пусть дано неравенство с одной переменной $f(x) > g(x)$ (вместо знака $>$ могут быть знаки $<,\: \leq ,\geq$ ). Областью определения неравенства $f(x) > g(x)$ называется пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$ .
Решением неравенства называется всякое значение переменной, при котором исходное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными (эквивалентными), если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если они не имеют решений.
При решении неравенств пользуются следующими основными теоремами о равносильности неравенств:
1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное исходному.
2. Если к обеим частям неравенства $f(x) > g(x)$ прибавить (или вычесть) любую функцию $\varphi (x)$ , то получится неравенство, равносильное исходному при условии, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают.
3. Если обе части неравенства $f(x) > g(x)$ умножить (или разделить) на любую функцию $\varphi (x)$ , сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при $\varphi (x)>0$ получается неравенство, равносильное исходному, а при $\varphi (x)<0$ равносильным исходному будет неравенство противоположного смысла (предполагается, что области определения полученного и исходного неравенств совпадают). Таким образом, можем записать:

$f(x)>g(x)\Leftrightarrow f(x)\cdot \varphi (x)>g(x)\cdot \varphi (x),$ если $\varphi (x)>0$ ;
$f(x)>g(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)}{\varphi (x)}>\frac{g(x)}{\varphi (x)},$ если $\varphi (x)>0$ ;
$f(x)>g(x)\Leftrightarrow f(x)\cdot \varphi (x)<g(x)\cdot \varphi (x),$ если $\varphi (x)<0$ ;

$f(x)>g(x)\Leftrightarrow \frac{f(x)}{\varphi (x)}<\frac{g(x)}{\varphi (x)},$ если $\varphi (x)<0$ .

Замечание. На практике при применении 2 и 3 теорем чаще всего вместо функции $\varphi (x)$ берется ее частный случай — отличная от нуля константа.

Пример. $x^{2}-4x>-3$ и $x^{2}-4x+3>0$ равносильны по теореме 1. Неравенство $x^{2}+7x<x^{2}$ равносильно неравенству $7x<0$ по теореме 2, которое, в свою очередь, равносильно неравенству $x<0$ по теореме 3. Неравенство $-7x\leq 21$ равносильно неравенству $x\geq -3$ по теореме 3, т. к. обе части неравенства $-7x\leq 21$ можно разделить на отрицательное число (-7), изменив при этом знак $\leq$ на знак $\geq$ .