Решение задач на формулу Бернулли. Часть 2

Задача №1.В Московской области при выращивании озимой ржи сорта Чулпан с применением почвозащитных технологий обработки почвы и средств химизации вероятность гибели более 92% всех сорняков равна 0,8. На опытном поле, разбитом на делянки, случайным образом выбрано 5 делянок. Найти вероятность того, что не менее, чем на двух из них погибнет более 92% сорняков.


Решение. Испытание состоит в проверке факта гибели более 92% сорняков на одной делянке. Общее число испытаний n = 5. Все испытания являются независимыми. Событие A , которое может произойти или не произойти в каждом испытании - гибель более 92% сорняков. Вероятность р = 0,8, вероятность q = 0,2. Рассмотрим событие:
B - более 92% сорняков погибнет не менее, чем на двух делянках из пяти.
Вероятность события в представляет собой вероятность того, что число m появлений события A в пяти испытаниях будет больше или равно двум и меньше или равно пяти. Искомая вероятность равна

P(B)=P(2\leq m\leq 5)=P_{5}(2)+P_{5}(3)+P_{5}(4)+P_{5}(5).

Каждое из четырех слагаемых в последнем равенстве найдем по формуле Бернулли.
Решение будет более коротким, если рассмотреть событие \bar{B} , противоположное событию B . Событие \bar{B} состоит в том, что более 92% сорняков погибнет менее, чем на двух делянках, т. е. или ни на одной, или на одной делянке. Воспользовавшись формулой (4) для определения вероятности противоположного события и теоремой сложения вероятностей несовместных событий, получим

P(B)=P(2\leq m\leq 5)=1-P(0\leq m\leq 1)=1-(P_{5}(0)+P_{5}(1)).

Вероятности P_{5}(0) и P_{5}(1) найдем по формуле Бернулли. Таким образом,

P(B)=P(2\leq m\leq 5)=1-C_{5}^{0}p^{0}q^{5}-C_{5}^{1}p^{1}q^{4}=1-(0,2)^{5}-5\cdot (0,8)^{1}\cdot (0,2)^{4}=0,99328.

Задача №2. Вероятность того, что из четырех кустов садовой земляники сорта Талисман, отобранных с некоторого участка случайным образом, хотя бы один куст поражен вилтом, равна 0,3439. Какова вероятность поражения вилтом одного куста земляники, если для всех кустов эта вероятность одинакова?

Решение. Испытание состоит в проверке одного куста земляники. Общее число испытаний n = 4. Испытания являются независимыми. Событие A , которое может появится или не появится в каждом испытании, состоит в том, что проверенный куст поражен вилтом. Рассмотрим события:
C - вилтом поражен хотя бы один куст из четырех кустов земляники;
\bar{C} - ни один из четырех кустов не поражен вилтом.

Событие \bar{C} противоположно событию C . Используя формулу (4) для определения вероятности противоположного события и формулу (1), по которой найдем P(\bar{C})=P_{4}(0) , получим:

P(C)=1-P_{4}(0)=1-q^{4}=0,3439,


где q=1-p.
Решив уравнение 1-q^{4}=0,3439 , найдем q = 0,9 ; отсюда получим p = 0,1.

Задача №3. Две электрические лампочки включены в цепь параллельно. Вероятность того, что при некотором повышении напряжения в цепи выше номинального перегорит только одна лампочка, равна 0,18. Найти вероятности перегореть для каждой из этих лампочек, если известно, что эти вероятности превосходят 0,7 и равны между собой.
Решение. Испытание состоит в проверке работы электрической лампочки. Общее число испытаний n =2. Испытания являются независимыми. Событие A , которое может произойти или не произойти в каждом испытании, состоит в том, что при повышении напряжения в цепи лампочка не перегорит. Известна вероятность того, что не перегорит только одна лампочка (без указания, какая именно). Так как вероятности наступления события A в каждом испытании равны между собой, то известна вероятность P_{2}(1) , определяемая по формуле Бернулли. По условию P_{2}(1)=0,18 . Требуется найти вероятность р наступления события A в каждом испытании.
По формуле Бернулли получим

P_{2}(1)=C_{2}^{1}p^{1}q^{1}=2p(1-p)=0,18.


Отсюда следует, что неизвестная вероятность р может быть найдена как корень квадратного уравнения p^{2}-p+0,09=0 . Это уравнение имеет два корня: p_{1}=0,9 и p_{2}=0,1 . По условию p>0,7 , поэтому задаче удовлетворяет лишь первый корень. Таким образом, вероятность того, что каждая из лампочек не перегорит, равна p=0,9 .

загрузка...

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Наш сайт находят по фразам: